平面向量测试题及详解

一、选择题

1．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值为( )

A．－2 B．0 C．1 D．2

2．已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若→AB⊥a，则实数k的值为( )

A．－2 B．－1 C．1 D．2

3．如果向量a＝(k,1)与b＝(6，k＋1)共线且方向相反，那么k的值为( )

A．－3 B．2 C．－1

7

4．在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记→AB、→BC分别为a、b，则→AH＝( ) a－445b a＋5b C．－2424

5a＋5b D．－5a－5

b 5．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝( )

A．－3 B．－1 C．1 D．3 6．已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则→AP·(→AB＋→AC)( )

A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．与P的位置有关

7．设a，b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“|a＋b|＝|a|＋|b|”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件

8.已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝5

2，则a与c的夹角为( )

A．30° B．60° C．120° D．150° 9．设O为坐标原点，点A(1,1)，若点B(x，y)满足





x2＋y2－2x－2y＋1≥0，1≤x≤2，OA·OB1≤y≤2，

则→→取得最大值时，点B的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．无数

10．a，b是不共线的向量，若→AB＝λ1a＋b，→AC＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为( )

13．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

14．已知a＝(2＋λ，1)，b＝(3，λ)，若〈a，b〉为钝角，则λ的取A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1 C．λ1·λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0

11．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若→OC＝λ→OE＋μ→OF其中λ，μ∈R，则λ＋μ是( )

D．1

12．已知非零向量→AB与→AC满足→AB→AC→→→|→AB＋||→AC|·BC＝0，且AB·AC＝|→AB||→AC|－1

2

，则△ABC的形状为( ) A．等腰非等边三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的三角形D．直角三角形

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题

值范围是________．

15．已知二次函数y＝f(x)的图像为开口向下的抛物线，且对任意x∈R都有f(1＋x)＝f(1－x)．若向量a＝(m，－1)，b＝(m，－2)，则满足不等式f(a·b)>f(－1)的m的取值范围为________．

16.已知向量a＝

sinθ，1

4，b＝(cosθ，1)，c＝(2，m)满足

a⊥b且

(a＋b)∥c，则实数m＝________. 三、解答题

17．已知向量a＝(－cosx，sinx)，b＝(cosx，3cosx)，函数f(x)＝a·b，

x∈[0，π]．(1)求函数f(x)的最大值；(2)当函数f(x)取得最大值时，

求向量a与b夹角的大小．

18．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．

(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证MF→1·MF→2＝0.

19．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝(2sin2(πB4＋2)，－1)，m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若a＝3，b＝1，求c的值．

20．已知向量a＝3x3xcos2，sin2，b＝cosxxπ

2，－sin2

，且x∈[2，π]．(1)

求a·b及|a＋b|；

(2)求函数f(x)＝a·b＋|a＋b|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值．

21．已知→OA＝(2asin2x，a)，OB→＝(－1,23sinxcosx＋1)，O为坐标原点，a≠0，设f(x)＝→OA·→OB＋b，b>a. (1)若a>0，写出函数y＝f(x)的单调递增区间；

(2)若函数y＝f(x)的定义域为[π

2，π]，值域为[2,5]，求实数a与b的值．

22．已知点M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足→MN·→MP＝6|→PN|.(1)求动点

P的轨迹C的方程；

(2)设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若－18→→

7

≤NA·NB≤－

12

5

，求直线l的斜率的取值范围．

平面向量答案

1.[解 a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，∵a＋b与4b－2a平行，

∴36＝x＋14x－2

，∴x＝2，故选D. 2.[解→AB＝(2,3)，∵→AB⊥a，∴2(2k－1)＋3×2＝0，∴k＝－1，∴选B. 3.[解由条件知，存在实数λ<0，使a＝λb，∴(k,1)＝(6λ，(k＋1)λ)，

∴k＝6λk＋1

λ＝1

，∴k＝－3，故选A.

4.[解析] →AF＝b＋12a，→DE＝a－12b，设→DH＝λ→DE，则→DH＝λa－1

2

λb，

∴→AH＝→AD＋→DH＝λa＋

1－12λb，∵→AH与→AF共线且a、b不共线，∴λ1＝

2

1－12λ21，∴λ＝5，∴→AH＝25a＋45

b. 5.[解析] ∵a＋b＝(3,1＋n)，∴|a＋b|＝9＋

n＋1

2

＝

n2＋2n＋10，

又a·b＝2＋n，∵|a＋b|＝a·b，∴n2＋2n＋10＝n＋2，解之得n＝3，故选D.

6.[解析]设BC边中点为D，则→AP·(→AB＋→AC)＝→AP·(2AD→) ＝2|→AP|·|→AD|·cos∠PAD＝2|→AD|2＝6.

7.[解析] |a＋b|＝|a|＋|b|⇔a与b方向相同，或a、b至少有一个为0；而a与b共线包括a与b方向相反的情形，∵a、b都是非零向量，故选B.

8.[解析] 由条件知|a|＝5，|b|＝25，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝5，∵(a＋b)·c＝52，∴5×5·cosθ＝5

2

，其中θ为a＋b与

c的夹角，∴θ＝60°.∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°.

9.[解析] x2

＋y2

－2x－2y＋1≥0，即(x－1)2

＋(y－1)2

≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，→OA·→OB＝x＋y，设x＋y＝t，则当直线y＝－x平移到经过点C时，t取最大值，故这样的点B有1个，即C点．

10.[解析] ∵A、B、C共线，∴→AC，→AB共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得→AC＝λ→AB，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于a，b不共线，

根据平面向量基本定理得

1＝λλ1



λ，消去λ得λ1λ2＝1.

2＝λ

11.[解析] →OF＝→OB＋→BF＝→OB＋1→→→→→1→3OA，OE＝OA＋AE＝OA＋3

OB，

相加得→OE＋→OF＝43(→OA＋→OB)＝4→3OC，∴→OC＝3→4OE＋3→4OF，∴λ＋μ＝334＋4＝3

2

. 12.[解析]

根据→AB→|→AB＋AC||→AC|

·→BC＝0知，角A的内角平分线与BC边→垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB→·AC＝－|→AB||→AC|1

2

可知A＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形． 13.[解析] a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×1

＝1，|a＋2b|22＝|a|2＋

4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4×1＝12，

∴|a＋2b|＝23.

14.[解析] ∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0，

∴λ<－32，当a与b方向相反时，λ＝－3，∴λ<－3

2且λ≠－3.

15.[解析] 由条件知f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝

f(3)，∵m≥0，∴a·b＝m＋2≥2，由f(a·b)>f(－1)得f(m＋2)>f(3)，

∵f(x)在[1，＋∞)上为减函数，∴m＋2<3，∴m<1，∵m≥0，∴0≤m<1.

16.[解析] ∵a⊥b，∴sinθcosθ＋14＝0，∴sin2θ＝－1

2

，又∵a＋b＝

sinθ＋cosθ，55

4，(a＋b)∥c，∴m(sinθ＋cosθ)－2＝0，∴m＝

5

2sinθ＋cosθ，∵(sinθ＋cosθ)2

＝1＋sin2θ＝1

2

，∴sinθ＋

cosθ＝±252，∴m＝±2

2

.

17.[解析] (1)f(x)＝a·b＝－cos2

x＋3sinxcosx＝31

2sin2x－

2

cos2x－1

2＝sin

2x－π6－12.

∵x∈[0，π]，∴当x＝π3时，f(x)11

max＝1－2＝2

.

(2)由(1)知x＝π1313，a＝－2，2，b＝

32，2

，设向量a与b夹角为1α，则cosα＝a·b|a|·|b|＝21×1＝12，∴α＝π

3.因此，两向量a与b的

夹角为π

3

.

18.[解析] (1)解：∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ，∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明：F1(－23，0)，F2(23，0)，MF→1＝(－3－23，－m)，MF→2＝(－3＋23，－m)，

∴MF→1·MF→2＝－3＋m2，又∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF→1·MF→2＝0，即MF→1⊥MF→2.

19.[解析] (1)∵m⊥n，∴m·n＝0，∴4sinB·sin2

πB

4＋2

＋cos2B－2

＝0，

∴2sinB[1－cosπ2＋B



]＋cos2B－2＝0，∴2sinB＋2sin2B＋1－

2sin2B－2＝0，

∴sinB＝12，∵06或6π.

(2)∵a＝3，b＝1，∴a>b，∴此时B＝π

6

，

方法一：由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，∴c2－3c＋2＝0，∴c＝2或c＝1.

方法二：由正弦定理得b＝a133

sinBsinA，∴1＝sinA，∴sinA＝2

，∵

2

03

π，

若A＝πππ2

3，因为B＝6，所以角C＝2，∴边c＝2；若A＝3π，则

角C＝π－23π－π6＝π

6

，

∴边c＝b，∴c＝1.综上c＝2或c＝1.

20.[解析] (1)a·b＝cos3xx3x2cos2－sin2sinx2

＝cos2x，|a＋b|＝

cos3xx232＋cos2＋sinx－sinx2

＝

2＋23xx3xx



22

cos2cos2－sin2sin2

＝2＋2cos2x＝2|cosx|，∵x∈[π

2，π]，∴cosx<0，∴|a＋b|＝－

2cosx.

(2)f(x)＝a·b＋|a＋b|＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝

2

cosx－1232－2

∵x∈[π

2

，π]，∴－1≤cosx≤0，∴当cosx＝－1，即x＝π时

fmax(x)＝3.

21.[解析] (1)f(x)＝－2asin2x＋2

3asinxcosx＋a＋b＝

2asin

2x＋π

6＋b，

∵a>0，∴由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2得，kπ－π

3≤x≤kπ＋

π

6

，k∈Z. ∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[kπ－ππ

3，kπ＋6

](k∈Z)

(2)x∈[ππ2，π]时，2x＋π6∈[7π6，13π6]，sin1

2x＋6∈[－1，2]

当a>0时，f(x)∈[－2a＋b，a＋b] ∴

－2a＋b＝2

a＋b＝5

，得

a＝1b＝4

，

当a<0时，f(x)∈[a＋b，－2a＋b] ∴

a＋b＝2

－2a＋b＝5

，得

a＝－1b＝3

综上知，

a＝－1

b＝3

或a＝1b＝4

22.[解析] 设动点P(x，y)，则→MP＝(x－4，y)，MN→＝(－3,0)，→PN＝(1

－x，－y)．

由已知得－3(x－4)＝6

1－x2

＋－y2

，化简得3x2＋4y2＝

12，得x2y2

4＋3

＝1.

所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为＋＝1.

43

(2)由题意知，直线l的斜率必存在，不妨设过N的直线l的方程为y＝k(x－1)，

设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

x2y2

y＝kx－1由xy＋＝143

2

2

，

消去y得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.

因为N在椭圆内，所以Δ>0.所以4k－12

xx＝3＋4k.

2

1

2

2

8k2

x1＋x2＝，

3＋4k2

→·→因为NANB＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋k2)(x1－1)(x2－1)＝(1＋

k2)[x1x2－(x1＋x2)＋1]

2222

4k－12－8k＋3＋4k－91＋k＝(1＋k2)＝，

3＋4k23＋4k2

18－91＋k212

所以－≤≤－.解得1≤k2≤3.所以－3≤k≤－2

73＋4k51或1≤k≤3.