文献综述
题 目 复杂非线性系统 中的混沌 学生姓名 孟玉丽 专业班级 电气07-2班 学 号 2007010229 院 （系） 电气信息工程学院 指导教师(职称) 完成时间 2011 年 4 月 5日
复杂非线性系统中的混沌 专业班级：电气07-2班 姓名：孟玉丽 学号：200701020229
复杂非线性系统中的混沌
1混沌理论的产生与发展
非线性混沌与分形理论的基本思想起源于20世纪初，形成与20世纪60年代后，发展壮大玉20世纪80年代。这一理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。混沌与分形理论被认为是继相对论、量子力学之后、20世纪在科学领域中人类认识世界和改造世界的最富有创造性的第三次大革命。
1.1混沌理论的产生
混沌，通常理解为混乱、无序、未分化，如所谓“混沌者，言万物相混成而未相离”（《易经》），“窈窈冥冥”、“昏昏默默”（《庄子》）。混沌最初进入科学领域是与以精确著称的数理科学无缘的，混沌主要是一个天文学中与宇宙起源有关的概念，它来源于神话传说与哲学思辨，在现代，混沌被赋予了新的意义，混沌是指在确定性系统中出啊先的类似随即的过程，其来自分先行。混沌的理论基础可追朔到19世纪末创立的定性理论，但真正得到发展是在20世纪70年代，现在方兴未艾。
300年前，Newton(牛顿)的万有引力定律和他的三大力学定律将天体的运动和地球上物体的运动统一起来，Newton的这一科学贡献曾被视为近代科学的典范，Newton在讨论宇宙起源时就曾使用过混沌概念，他当时的观点与当代有序来源于对称破缺是一致的，18世纪具有彻底牛顿宇宙观的伟大的科学家Laplace（拉普拉斯）曾有传世名言:“如果有以为智慧之神，在给定时刻能够辨别出赋予大自然以生命的全部的力和组成万物的个别位置，而且他有足够深邃的睿智能够分析这些数据，那么他将把禹州中最卫校的院子和庞大的天体的运动都包括在一个公式之中，对他来说，没有什么东西是不确定的，未来就如同过去那样是完全确定无疑的。” Laplace的这句话可解释为：“如果已知宇宙中每一粒子的位置与速度，那么就可以预测禹州在整个未来中的状况。”要实现Laplace的这一目标显然有若干实际困难，但一百多面来似乎没有理由怀疑他至少在原则上是正确的。后来
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Einstein（爱因斯坦）也曾表态说：“我无论如何深信上帝不是在掷骰子。”
然而，随着科学的发展，人们进一步认识到，Newton力学的真理性收到了一定的限制，19世纪末20世纪初，人们发现Newton力学不能反映高速运动的规律、一切接近光速的运动应当用Einstein的相对论方法来计算，在此前后，人们又发现，微观粒子的运动并不遵守Newton力学的规律，在微观世界中应当用量子力学的薛定谔方城来代替Newton力学方程。
20世纪后半叶，由于量子力学的星期，海森堡不确定关系的确立，使Laplace的决定论在20世纪的科学界趋于失势。同事，物理学在非线性方面所取得的两大进展：非平衡物理学和始于混沌概念的不稳定系统动力学[1]，又使Newton力学收到了更大的冲击。
非平衡物理学研究远离平衡状态的系统，这门新学科产生了诸如自组织和耗散结构这样一些概念，它们描述了单项时间效应，即不可逆性。例如，香水瓶打开之后，香水会挥发掉，香气充溢整个房间，但无论如何，空气中的香水分子不会自发地重新聚集到瓶子里。常识告诉我们，从摇篮到坟墓，时间一往无前，永不倒退。然而Newton和Einstein确立的自然法则，却摘述了一个无时间的确定性宇宙。物理学基本定律所描述的时间，从经典的Newton力学到相对论和量子力学，均未包含过去和未来之间的任何却别。所以，Einstein常说：“时间（不可逆性）是一种错觉。”时间可逆过程在现实世界中是罕见的，不可逆过程（如炒鸡蛋）却在我们周围频频发生，难道时间真是一种错觉？另外，经典科学强调有序和稳定性，以Newton理论为代表的近代科学创造了一种能够精确刻画必然性或确定性的方法。然而人们在研究非线性系统时却发现了分岔、突变、混沌等现象[2]。
早在19～20世纪之交，发过科学家Poincare'（庞加莱）研究了天体力学中的三体问题，当时Newton的万有引力定律能够很好的解决地球绕太阳公转的二体问题，即地球沿椭圆轨道运行。但在处理三个相互吸引的天体问题（即三体问题）时，Newton定律遇到了困难，因此三体问题已成了多年来困扰牛顿力学的难题。Poincare'把动力系统和拓扑学有机的结合起来，并指出三体的运动中可能存在混沌特性。但当时大多数物理学家都
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不理解和欣赏Poincare'的工作，因为牛顿力学占据了科学领域的统治地位，经典牛顿理论用一层厚实而不易察觉的帷幕把混沌现象这块丰饶的宝地给隔开了，但Poincare'第一次在这道帷幕上撕开了一条缝，暴露出后面尚有一大片未开发的“西部世界”。Poincare'发现三体问题（如太阳、月亮和地球三者的相对运动）与单体问题、二体问题不同，它是无法求出精确解的。于是，1903年Poincare'在他的《科学与方法》一书中提出Poincare'猜想。他支出三体问题中，在一定范围内，其解是随机的。实际上这是一种保守系统中的混沌，从而使Poincare'成为世界上最先了解混沌存在的可能性第一人[2]。
现在看来，哪怕是再天才的科学家，如Laplace、 Einstein，由于受所处时代科学发展水平和个人科学经验的局限，仍然可能对科学发表失当的言论。正如美国注明科学家Gleick所云：“混沌学排除了Laplace决定论的可预测性的狂想。” [1]
1.2混沌理论的发展过程
我们生活和面对的世界是个演化系统，是极其复杂的。复杂性到处都是，复杂系统无处不在，如宇宙天体、生物系统、社会系统等。复杂系统有自然的、人为的或人造的以及人叠加于自然的复合复杂系统。
目前，对复杂性尚无统一认识。一般认为，复杂性可归难为：系统的多层次性、多因素性和多变性，各因素或子系统之间的及系统与环境件的相互作用，随之而有的整体行为和演化。
所谓复杂性研究，就是研究复杂系统的结构、组成、功能及其相互作用，系统与环境的相互作用，研究系统的整体行为和演化规律及控制它们的机制，然后建立模型，进行模拟实验，进一步对其施加影响、管理和调控。
现实世界的复杂性，大都源于非线性。但以Newton力学为奠基石的近代自然科学总是试图在复杂的自然现象中寻求一种线性化的，简单性的答案。这种以局部线性化处理非线性问题，用世界“片面的美”掩盖了“完整的真”。要探索自然界的复杂性，必须研究非线性。
20世纪的二三十年代，G.D.Birkhoff紧跟Poincare'的学术思想，
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简历了动力系统理论的两个主要研究方向：拓扑理论和遍历理论。到1960年前后，非线性科学研究得到了突飞猛进的发展，A.N.Kolmogorov与V.I.Amold及J.Moser深入研究了Hamilton系统（或保守系统）中的运动稳定性，得出了著名的KAM定理，即用这三围发现者的名字命名的定理。KAM定理为揭示Hamilton系统中KAM环面的破坏以及混沌运动奠定了基础
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给出混沌解第一个例子是1963年美国科学家E.N.Lorenz在美国《大
气科学杂志》上发表的文章《确定性的非周期流》[6]。在第二次世界大战期间，Lorenz成了一名空军气象预报员，结果他迷上了天气预报。1963年，在气象预报的研究中，Lorenz用计算机模拟天气情况，发现了天气变化的非周期性和不可预言性之间的联系。Lorenz从对流问题中提炼出一组三维常微分方程组。用来描述天气的演变情况。在他的天气模型中，Lorenz看到了比随机性更多的东西，看到了一种细致的几何就够，发现了天气演变对初值的敏感性依赖。Lorenz提出了一个形象的比喻：“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀，可能会改变三个月后美国德克萨斯州的气候。”这被称为“蝴蝶效应”。用混沌学术语表达就是系统长期行为对初值的敏感性依赖。
1964年，M.He’non等人以KAM理论为背景，发现了1个二维不可积Hamilton系统中的确定性随机行为，即He’non吸引子。D.Ruelle和F.Takens提出了“奇怪吸引子”（Strange attractor）的概念，同时将这一概念引入耗散系统，并于1971年提出了一种新的涡流发生机制。这一工作由J.P.Gollub等人的实验结果所支持，并对后来关于Smale马蹄吸引子的研究起到一定的推动作用。Smale马蹄吸引子是指在Lorenz以后，美国数学家Smale发明了一种被乘坐“马蹄”的结构，以后的岁月里成为混沌经久不衰的形象。Smale的马蹄结构，可比喻为在一团橡皮泥上任意取两点，然后把橡皮泥拉长，在折叠回来，不断地拉长、折叠，使之错综复杂地子果嵌套起来。这样原来确定的两点到最终离的很近，但又是从相距任意远处开始运动的，接着Smale又提出了马蹄变换，为20世纪70年代混沌理论的研究做了重要的数学理论准备。
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1975年，T.y.Li(李天碧)和J.A.York提出“周期3蕴含混沌”的思想，被认为是对混沌的第一次正式表述，Chaos一词也自此被正式使用[3]。后来Li和York的观点在许多方面得到了推广，如Oono指出“周期≠
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含混沌”等。不过在Li和York之前，A.N.Sarkovskii就已提出了类似的思想。1976年，R.M.May研究了一维平方映射，并在一篇综述中提出非常简单的一维迭代映射也能产生复杂的周期倍化和混沌运动[7]。在这个基础上，M.J.Feigenbaum于1978年发现了倍周期分岔通向混沌的两个普适常数，并引入了重整化群思想，这是一个重大的发现，具有里程碑的意义[8]。F.Takens于1981年提出了判定奇怪吸引子的实验方法[9]，而P.J.Holmes转述并发展的Melmikov理论分析方法可用于判别二维系统中稳定流形和不稳定流形是否相交，也即判别是否出现混沌。在混沌理论的发展中，各种混沌现象不断被发现，各种分析方法和判据也相继被提出，混沌理论在许多领域获得了广泛的应用。
1. 3 混沌研究的意义与发展前景
著名的比利时科学家、诺贝尔奖金获得者Prigogine等人在《探索复杂性》专著中，又从多方面研究了混沌问题[12]。他们通过对一些非平衡过程可以以各种不同的方式进入混沌，以及对混沌特性的研究后发现，这种混沌不同于宇宙早起热力学平衡态的混沌，它是有序和无序的对立统一，既有复杂性的一面，又有规律性的一面。这就意味着，对混沌科学的深入研究，将会对自然科学带来新的突破。
正如日本著名统计物理学家久保在1978年所指出的：“在非平衡、非线性的研究中，混沌问题揭示了新的一页。”美国一个国家科学机构，把混沌问题列为当代科学研究的前沿之一，混沌科学最热心的倡导者、美国海军官员Shlesinger说：“20世纪科学界将永远铭记的只有三件事：相对论、量子力学和混沌。”物理学家Ford认为，混沌是20世纪物理学第三次最大的革命，与前两次革命相似，混沌也与相对论及量子力学一样冲破了牛顿力学的教规。他说：“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想，量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦，而混沌则消除了Laplace关于决定论式的可预测性的幻想。” [1]
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与牛顿力学的应用经受相对论和量子力学革命性的突破有所不同，这次革命的实质就在于混沌是直接用于研究人们所感知的真实宇宙，是在人类本身的尺度大小差不多的对象中所发生的过程。人们研究混沌时所探索的目标就处在日常生活经验与这个世界的真实图像之中。
混沌理论研究大于世界中的复杂奇妙现象，独步经典科学之外，另辟蹊径，开创了一条新的科学革命道路。混沌学改变了科学世界的图景，认为世界是一个有序与无序的统一、确定性与随机性的统一、简单性与复杂性的统一、稳定性与不稳定性的统一、完全性与不完全性的统一、自相似性与非相似性的统一的世界。显然，遗忘那种只追求有序、精确、简单的观点是不全面的。因为牛顿力学所描绘的世界是一幅静态的、简单的、可逆的、确定性的、永恒不变的自然图景。形成了一种关于“存在”的机械自然观。而人们整整面临的世界却是地址变迁、生物进化、社会变革这样一幅动态的、复杂的、不可逆的、随机性的、千变万化的自然图景，形成的是关于“演化”的自然观。因此，只有抓住复杂性并对它进行深入研究，才能为人们描绘yield可观的世界图景。这说明混沌死一种关于过程的科学而不是关于状态的科学，是关于演化的科学而不是关于存在的科学。
斯特瓦尔特在《混沌素描》中说：“混沌是振奋人心的，因为它开启了简化复杂现象的可能性。混沌是令人忧虑的，因为它导致对科学 串通建模程序的新怀疑。混沌是迷人的，因为它体现了数学、科学及快哦手机的相互作用。但混沌首先是美的。这并非偶然，二十数学美可以看得见的证据；这种美曾被局限于数学界的视野之内，由于混沌，它正在神偷于人类感觉的日常世界中。”混沌运动产生出各种巧夺天工的图形，成功模拟和创造出足以乱真的“实景”，获得意想不到的结果。对简单、纯净、和谐的有序性美和静态美的追求被多样性美、奇异性美、复杂性美和动态美所取代，这就是混沌美。
混沌研究的重要特点就是跨越了学科界限，混沌学的普适性、标度律、自相似性、分形、奇怪吸引子、重整化群等概念和方法，正超越原来数理学科的狭窄北京，走进化学、生物学、低学、医学及至社会科学的广阔天地。混沌现象是丝毫不带随机因素的固定规则所产生的，研究动态系统的
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混沌机制在今天有更多的现实意义：它说明那个精确的预测从原则上讲是能够实现的，加上计算机的快速跟踪，就能够深入探讨各种强非线性系统的特征，开创了模型化的新途径。
现如今，混沌已成为各学科关注的一个学术热点，确定性系统的混沌使人们看到了普遍存在于自然界而人们多年来视而不见的一种运动形式。混沌无所不在，它存在于大气中，海洋涡流中，野生动植物种群数的涨落中，风中飘拂的旗帜中，心脏和大脑的振动中，还有秋千、摆钟、血管、嫩芽、雪花„„等之中。世界是混沌的，混沌遍世界！目前，许多科学家都在利用非线性动力学的方法来研究混沌运动，探索复杂现象的无序中的有序和有序中的无序，就是新型的混沌学任务。
2 混沌理论对现代科学研究的作用和影响
进入20世纪90年代，非线性动力学中分岔和混沌理论的建立，使非线性科学有了可靠的理论保证，并激励着众多的自然科学、工程学和数学工作者深入探索和研究。而混沌与分形的应用研究比理论研究更为引人注目，很难再有另外一门学科能在这么短的时间内神偷到如此多的学科中并产生重要的影响，混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式，所以对非线性科学的研究不仅推动了其他学科的发展，而且正在改变整个现代知识体。而动力系统、分岔和奇怪吸引子理论方法的发展也超越原来数学的接线，广泛应用于震动、自动控制、系统工程、机械工程等领域中对非线性问题的研究，并对经典力学、物理学、固体力学、流体力学（为解决涡流问题带来了希望）、化学工程、生态学和生物医学，乃至一些社会科学部门的研究和发展都产生深远影响。同事，科学实践的进一步深化反过来又促进非线性动力学数学理论的纵深发展。
今天，混沌分形理论已经与计算机科学理论等领域想结合，这种结合使人们对一些久悬未解决的基本难题的研究取得突破性进展，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了巨大作用，其作用涉及到几乎整个自然学和社会科学。混沌分形已被认为是研究非线性复杂问题最好的一种语言和工具，并收到各国政府及学者的重视和工人，成为各学科关注的一
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个学术热点。
混沌学对现代科学的发展具有广泛而深远的影响，几乎覆盖了一切科学领域，尤其是在物理学、天体力学、力学、流体力学、数学、经济学、生物学等方面。如今天文学家能运用混沌理论建立模型模拟早期宇宙的脉动、星系中恒星的运动以及太阳系中行星、卫星、彗星的运动。混沌对力学的意义在于，过去总是将牛顿力学和“决定论”相联系，现在我们却知道由牛顿定律运动方程确定的状态，可能由于方程具有内在随机性而在动态上实际不可预测，它只有某种统计特征。在分析力学方面，混沌理论指出它发展的新途径，高维非线性系统的方程不仅不能积分，而且其解可能对初值有敏感依赖性，因而得用类似统计力学的观点去处理。在流体力学中，涡流的产生机理是一个百年难题，它千姿百态、瞬息万变和神态莫测，是自然界中复杂现象的集中表现，描述流体动力学的方程既包括了无穷维的耗散项，又包括了大中小许多不同尺度的运动。也就是说涡流在时间和空间两方面都表现出随机性，它是非线性连续系统在一定条件下的内秉特性，因此确定性和随机性、有序和无序等截然不同的现象由同一组确定性方程演化出来，混沌理论已为涡流研究开辟了一条新的思路。混沌运动也广泛存在于城市交通、工程建筑、地质材料和各项经济活动（如股票市场的波动）等领域中。生命世界中也存在这混沌，如人脑电波的测量、神经疾病的研究等。在神经生理学测试中，正常人的脑电波是混沌的，而有神经症的患者的脑电波却往往是整齐划一的。因而，必要的混沌对人的身心健康和创造性思维的发展是有益的。
正如模糊论填补了精确论和概率论之间的空白一样，混沌论在确定论和随机论之间架起了已做桥梁，但混沌的意义远不止这些。混沌有无序的一面，但在某些情况下它反而是组织结构和高度有序的表现，是系统进化和产生信息之源。这些都将对人们的科学馆和方法论产生重大影响，并激励人们去研究和探索。混沌理论在解决各种问题上的威力已初见端倪，为人们认识世界、改造世界提供了有力的武器。
分形与混沌动力系统理论进一步丰富和深化了唯物辩证法关于普通联系和世界统一性原理。分形论从一个特定层面直接揭示了宇宙的统一图
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景，而分形与动力系统可以共同对世界物质统一性从时态与历时性两个维度上展开说明：一方面，动力系统理论说明，自然界中蕴含着历时的演化和嬗变的信息；另一方面，分形源于分形系统之间普遍的信息同构关系编织了一张世界统一的网络。
总之，20多年来人们对确定性混沌和分形的研究不仅对整个自然科学而且对哲学体系也带来了巨大的冲击，并可能成为产生变革的持久动力，将在人类探索自然的实践中起着开阔眼界、解放思想的作用。
在对混沌动力系统理论的研究中，人们已经发现，那些遵循不变的、精确的定律的系统并不总是可以预言的，规则的方式运作的。简单的定律可能不产生简单的性态。确定的定律会产生貌似无规的性态。秩序能孕育出自身特有的混沌。
这是一个重大发现，它的意蕴必将对我们的科学思维形成强大冲击。从混沌的观点来看，预言（或可重复实验）的概念焕然一新。我们过去以为简单的事物变得复杂了，与测量、可预言性和验证（或否证）理论有关的一些令人困惑的新问题产生了。
相反，我们过去以为复杂的事物倒有可能变得简单了。看来无结构的、无规则的现象实际上可能遵循着简单的定律。确定性混沌自由其一定规律，并且带来了全新的实验技术。大自然中不乏一些不规则性，其中有些不规则性，可以证明是混沌的表现形式，流体的涡流，地球磁场的反转，心脏搏动的不规则，液氧的对流模式，天体的翻转，小行星带中的空隙，虫口的增长，龙头的滴水，化学反应的进程，细胞的代谢，天气的变化，神经冲动的传播，电子电路的振荡，系缆于浮筒的船只的运动，台球的反弹，气体中院子的碰撞，量子力学的内在不确定度—这些仅是已应用过混沌问题中的一部分。
这是一个崭新的世界，一种新的科学—混沌与分形，是认识大自然中的不规则性方面的一个举足轻重的突破。它的未来不可限量！
参考文献
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3 混沌研究的现状与展望
当代科学对混沌、分形的研究才刚刚开始，目前仍处于具体分析阶段，尚未奠定同意的理论基础，因而对它们的深入研究还有待于科学的进一步发展。对混沌、分形进行广泛、深入和细致的研究，无论在理论上还是在应用上都具有重大而深远的意义，它们代表了时代发展的方向，可以预言，21世纪将是非线性科学迅猛发展的时代。
混沌、分形所涉及的内容十分广泛，尚有很多问题可展开讨论。比如分岔导致混沌、阵发性混沌、奇怪吸引子、分维、以及多维动力系统等，对这些问题的深入分析，有助于加深对混沌特性的认识和理解。可以说，目前还没有一个数学模型被全面彻底地研究过。缺乏这类素材，就不能发现寓于特殊性中的普遍性，并进而促进一般的理论概念。
在混沌系统的研究中，人们已提出了如下的一些基本问题。 1人们能否断言一个给定系统将展示确定性混沌？ ○
2能否用数学语言书名混沌运动并对它进行定量刻画？ ○
3混沌在物理学的不同分支中的影响是什么？ ○
4混沌运动的存在，○说明在物理学上对某些非线性系统做长期医保是不可能的，那么，人们还能从混沌信号中知道些什么呢？
对于混沌研究的发展方向及面临的重大突破，我国著名物理学家郝柏林院士曾提出了一些很有远见的看法，现在看来，仍值得重视，这里摘录如下：
1涡流问题仍然是对现代科学的挑战。○为了认识真正的涡流发生机制，并且逐步走向完全发达的涡流，必须研究时空混沌行为，既不能限于少数自由度的时间演化。事实上这里存在着整个阶梯：从时间、空间、状态三者都用离散变量代表的“元胞自动机”到三者都变化的连续的微分方程组，中间可能有各种耦合现象和常微分方程的“格子”。这里需要
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