《西游记》二十四回中，在万寿山五庄观孙悟空偷来三个人参果，与八戒、沙僧分享。原文如下：他三个人将三个果各各受用。那八戒食肠大，口又大，一则是听见童子吃时，便觉馋虫拱动，却才见了果子，拿过来，张开口，毂辘的囫囵吞咽下肚，却白着眼胡赖，向行者、沙僧道：“甚么味道?”行者道：“悟净，不要睬他!你倒吃光了，又来问谁?”八戒道：“哥哥，吃的忙了些；不像你们细嚼细咽，尝出些滋味。我也不知有核无核，就吞下去了。哥哥啊，为人为彻，已经调动我这馋虫，再去弄个来，老猪细细地吃吃。”行者道：“兄弟，你好不知止足!这个东西，比不得那米食面食，撞着尽饱。像这一万年只结得三十个，我们吃他这一个，也是大有缘分，不等小可。罢、罢、罢!够了。
猪八戒性急，一口把果子吞下去，什么味道也没有尝出来，连有核没核都不知道，真像“呆子”的性格。虽然生活中这样“囫囵吞枣”的事情大概没有多少，因为不是人人都像八戒这样有“大容量”，但在学习时，这样“只知其一不知其二”、“不求甚解”的情况可确实存在着。人教2013版小学数学五年级下册就有着这么一个很容易令人“囫囵吞枣”的“傻问题”——“找次品”问题。
教材内容如下：
例1，从3件物品中找出1件次品（轻一些），初步认识“找次品”问题，了解找次品的基本思路。例2，从8个零件中找出1个次品（重一些），探索找次品的一般方法。
教师用书解释如下：
对于这一问题，一般性的解决方法是“把这n个零件尽可能平均分成3份”。这是由天平的特点决定的，因为天平有两个托盘，所以次品的位置无外乎三个地方，即两个托盘上、天平外，天平称一次就能确定出次品在三个位置中的哪一个。而要使称量的次数最少，每次称量后，就应把次品确定在更小的范围内。要做到这一点，就应使三个地方的零件个数尽量同样多。这样，不管次品在三个地方中的任何一个，问题都能转化成“从总数的三分之一（左右）里找次品”。例如，从9个零件中找次品，分成3份，有四种不同的分法：①（1，1，7），②（2，2，5），③（3，3，3），④（4，4，1）。很显然第三种分法中，称一次就可以将次品确定在最小的范围内。
在教学实践中，我们发现，许多孩子都能应用“尽量三等分”的方法来解决“找次品”问题，但对于“为什么三等分”、“怎样缩小搜索范围”以及“找次品”中蕴含的数学思想则一知半解。如果我们不想只用“尽量三等分”这种“傻瓜方法”来解决这个问题的话，我们需要知道什么呢？ 一、知识准备 （一）什么叫次品
“次”有低级的意思，关于“次品”，百度词典里有两个含义。其一，质量比标准产品稍差的产品，其二，制造得不完美的东西或有瑕疵的物品。
对于第一种解释，“质量”既可以是“品质”，也可以是“重量”，一般而言，质量不达标自然是次品，但有时重量超出标准范围也会影响使用，也可以认为是次品；对于第二种解释，“不完美或有瑕疵”有时却是很多独特艺术品的特征。
从外观来看，次品与正品、真品完全相同、无法辨识，要用天平来“测量”，因此，本单元我们所要找的“次品”其实是“外形相同、重量不同的物品”（有时可能轻一些，有时可能重一些）——“找次品”就是“找不同”。 （二）“找次品”的工具
本单元中，找次品的工具是“天平”。天平是衡量物体质量的仪器，它依据杠杆原理制成（属于“等臂杠杆”），在杠杆的两端各有一小盘，一端放砝码，另一端放要称的物体，杠杆中央装有指针，两端平衡时（指针指向正中），两端的质量相等。也就是说，天平平衡时，两端的物体质量相等，只要两端质量稍有不同，重的一端就会“下沉到底”，轻的一端则会“上浮到顶”，和跷跷板的原理是一样的。
本单元的“天平”是没有砝码的，因此不能用于测量质量的具体数据（定量测量），只用来判断两端的质量大小，属于“定性测量”——在两端放上相等个数的待测物品，判断轻重和次品在那一端（因为不知道具体质量多少，两端放上个数不等的待测物品是无意义的）。
其他用于“定量测量”的工具还有“（电子）秤”等等。 （三）什么叫“一定能找出次品”
本单元“用天平找次品”不考虑实际测量时的阻力等因素，因而天平是“理
想”的，在“虚拟”称量时，肯定会出现平衡或不平衡的情况，而每种情况又衍生出不同的可能性。只有将每一种可能性考虑进去，都最终把次品找出来，才叫“一定能找出次品”——也就是要考虑“最坏的情况”。 二、寻找原理与方法优化
“找次品”的方法很多，用没有砝码的天平来找，可以将待测物品的其中一个与其他每一个依次放在天平的两端进行比较，假设次品只有一个、且较轻的话，轻的（上翘的）那一个就是次品，都平衡的那些就是标准品。 （一）从“2”到“3”
只有2个物品时，只要称1次，一定能找出次品。因为次品比正品轻，上翘的那边就是次品。
有3个物品时，也只要称1次，就一定能找出次品。因为除了天平两端各1个外，还有1个物品在天平外，如果天平两端平衡，说明质量一样，而次品只有1个，不可能都是次品，因此次品肯定是在天平以外的那一个。这里采用的是“推理”的方法——物品不一定都要在天平上称才能判断是否是次品。
用教材上的表示方法：
用语言表示：在天平两端都放上1个物品，（天平外还有1个物品，）假如天平平衡，说明天平外的1个物品就是次品，假如不平衡，轻的那1个物品是次品。
即当物品在2~3个时，都能用“实际测量”或“推理”的方法，称1次就一定能找出次品。 （二）从“3”到“9”
在4个物品的情况下，无法保证通过只称1次及推理确定哪个是次品，可能的称量步骤如下。
或者是：
“无法保证通过只称1次确定次品”的原因是，第一种情况下，天平外还有2个待测物品，一旦次品在这两个物品中，就无法确定；而在第二种情况下，第一次称量不可能平衡，也要2次才能确定找到次品。
因此，从4个物品中找1个次品，要称2次才一定能找到次品。运气好的话，2在第一种情况下，称量1次就能找到次品（4个中的这2个是次品的可能性是4 ，1
即2 ）。这两种方法可以简单记作（1，1，2）（1，1，0）和（2，2，0）（1，1，0），其中，每个括号表示称量一次，括号里的第一个数字表示天平左边的物品数量，第二个数字表示右边的物品数量，第三个数字表示天平外的物品数量。
下面不展开解释，同理可以得出5~9的称量方法，总结如下表。 物品 总个数 4 称量方法与步骤 （1，1，2）（1，1，0）或 （2，2，0）（1，1，0） （1，1，3）（1，1，1）或 （2，2，1）（1，1，0） （1，1，4）（1，1，2）（1，1，0）或 6 （1，1，4）（2，2，0）（1，1，0）或 （2，2，2）（1，1，0）或 （3，3，0）（1，1，1） （1，1，5）（1，1，3）（1，1，1）或 7 （1，1，5）（2，2，1）（1，1，0）或 （2，2，3）（1，1，0）或 保证找到的次数 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 5 （2，2，3）（1，1，1）或 （3，3，1）（1，1，1） （1，1，6）（1，1，4）（1，1，2）（1，1，0）或 （1，1，6）（1，1，4）（2，2，0）（1，1，0）或 （1，1，6）（2，2，2）（1，1，0）或 （1，1，6）（3，3，0）（1，1，1）或 8 （2，2，4）（1，1，2）（1，1，0）或 （2，2，4）（2，2，0）（1，1，0）或 （3，3，2）（1，1，1）或 （3，3，2）（1，1，0）或 （4，4，0）（1，1，2）（1，1，0）或 （4，4，0）（2，2，0）（1，1，0） （1，1，7）（1，1，5）（1，1，3）（1，1，1）或 （1，1，7）（1，1，5）（2，2，1）（1，1，0）或 （1，1，7）（2，2，3）（1，1，0）或 （1，1，7）（2，2，3）（1，1，1）或 9 （1，1，7）（3，3，1）（1，1，1）或 （2，2，5）（1，1，3）（1，1，1）或 （2，2，5）（2，2，1）（1，1，0）或 （3，3，3）（1，1，1）或 （4，4，1）（1，1，2）（1，1，0）或 （4，4，1）（2，2，0）（1，1，0） 仔细研究以上表格及称量的过程，可以发现：
2 2 4 4 3 3 3 3 2 2 3 3 4 4 3 3 3 3 3 2 3 3 1、较大的物品数量可以转化成几个较小的物品数量来称量，转化后方法与较小数量的相同，如“7个”有五种可能，那么“9个”通过第一次称量转化成（1，1，7）后，也有5种相应的可能；
2、从4个开始，最少也需要2次才能“保证找出次品”，有的方法还可能需要更多的次数才能“保证找出次品”；
3、在同一种个数的多个方法中，每个括号的三个数字接近的，“保证找出次品”
的次数较少，特别是“9个”的时候，只有（3，3，3）这一种方法能保证2次就找出次品。
为什么“9个”这么特殊？“10个”、“11个”等呢？看一下。
物品 总个数 称量方法与步骤 （1，1，8）（1，1，6）（1，1，4）（1，1，2）（1，1，0）或 （1，1，8）（1，1，6）（1，1，4）（2，2，0）（1，1，0）或 （1，1，8）（1，1，6）（2，2，2）（1，1，0）或 （1，1，8）（1，1，6）（3，3，0）（1，1，1）或 （1，1，8）（2，2，4）（1，1，2）（1，1，0）或 （1，1，8）（2，2，4）（2，2，0）（1，1，0）或 （1，1，8）（3，3，2）（1，1，1）或 （1，1，8）（3，3，2）（1，1，0）或 （1，1，8）（4，4，0）（1，1，2）（1，1，0）或 10 （1，1，8）（4，4，0）（2，2，0）（1，1，0）或 （2，2，6）（1，1，4）（1，1，2）（1，1，0）或 （2，2，6）（1，1，4）（2，2，0）（1，1，0）或 （2，2，6）（2，2，2）（1，1，0）或 （2，2，6）（3，3，0）（1，1，1）或 （3，3，4）（1，1，2）（1，1，0）或 （3，3，4）（2，2，0）（1，1，0）或 （4，4，2）（1，1，2）（1，1，0）或 （4，4，2）（2，2，0）（1，1，0）或 （5，5，0）（1，1，3）（1，1，1）或 （5，5，0）（2，2，1）（1，1，0） （1，1，9）（1，1，7）（1，1，5）（1，1，3）（1，1，1）或 11 （1，1，9）（1，1，7）（1，1，5）（2，2，1）（1，1，0）或 （1，1，9）（1，1，7）（2，2，3）（1，1，0）或 （1，1，9）（1，1，7）（2，2，3）（1，1，1）或 保证找到的次数 5 5 4 4 4 4 3 3 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 4 4 （1，1，9）（1，1，7）（3，3，1）（1，1，1）或 （1，1，9）（2，2，5）（1，1，3）（1，1，1）或 （1，1，9）（2，2，5）（2，2，1）（1，1，0）或 （1，1，9）（3，3，3）（1，1，1）或 （1，1，9）（4，4，1）（1，1，2）（1，1，0）或 （1，1，9）（4，4，1）（2，2，0）（1，1，0）或 （2，2，7）（1，1，5）（1，1，3）（1，1，1）或 （2，2，7）（1，1，5）（2，2，1）（1，1，0）或 （2，2，7）（2，2，3）（1，1，0）或 （2，2，7）（2，2，3）（1，1，1）或 （2，2，7）（3，3，1）（1，1，1）或 （3，3，5）（1，1，3）（1，1，1）或 （3，3，5）（2，2，1）（1，1，0）或 （4，4，3）（1，1，2）（1，1，0）或 （4，4，3）（2，2，0）（1，1，0）或 （5，5，1）（1，1，3）（1，1，1）或 （5，5，1）（2，2，1）（1，1，0） 4 4 4 3 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 看来，随着待测物品个数的增加，可能的方法很多，但哪怕用“蠢得死”的方法（每次天平两端各放1个），只要测过的不再测，n个物品都只要用int（n/2）次（即n÷2后取整数部分）就一定能保证找出次品。
而最快的方法中，只有“9个”能被分成3份“3个”，“10个”和“11个”分一次都至少要出现“4个”——（3，3，4）或（4，4，3）——至少还要2次，一共至少需要3次才能保证找出次品。
这是因为9=3×3，测1次最多能从3个物品中找出1个次品，测2次最多能从9个物品中找出1个次品（测一次将范围缩小到3个）。如果每一份有9个，3份就是27个，测3次最多能从27个物品中找出1个次品。
„„
（三）从“9”到“n”
按照上面的规律，用天平找次品时，所测物品数目与至少需要测试的次数有
以下关系。（只含一个次品，已知次品比正品重或轻。）
要辨别的物品数目 下限 2（30 + 1） 4（31 + 1） 10（32 + 1） 28（33 + 1） 82（34 + 1） „„ 3n-1 + 1 上限 3（31） 9（32） 27（33） 81（34） 243（35） „„ 3n 保证能找出次品 至少需要测的次数 1 2 3 4 5 „„ n 也就是说，我们只要以3的n次方（3n）为标准点，就能迅速判断“保证能找出次品至少需要测的次数”。比如要从100个物品中找出1个较轻的次品，100在81（34）和243（35）之间，4次不够，所以需要5次。
具体的方法是“尽量三等分”，因为我们是以3n为标准点，每个标准点是上一个的3倍，因此“三等分”都可以让任一个数“降级”，落在较小的一个标准点的范围内，使“至少需要测的次数”减少一次。因此，“尽量三等分”的方法就是解决“找次品”问题的“傻方法”。 三、数学思想与再次优化
“找次品”中体现的数学思想，《教师教学用书》260页总结得很好——“探究问题：学会化繁为简（转化）；解决问题：要有优化意识（统筹）”。本课通过解决2、3个物品中找1个次品的方法解析规律，得出将“从n个物品中寻找1个次品”转化为“从int(n/3)个物品中寻找1个次品”，逐步简化了问题；通过对8个、9个物品中找1个次品的方法解析规律，得出“尽量三等分”的一般方法。但仅仅如此吗？“转化”与“优化”的数学思想得到了很好的贯彻与渗透了吗？并没有。学习后如果只记住了“尽量三等分”的一般方法，恰恰缺少了对实际问题的具体分析。因此，还要加上一句——实际操作：因地制宜应用（灵活）。 （一）“化繁为简”帮助我们变“未知”为“已知”
“化繁为简”是非常重要的数学思想。通过上面的分析，我们知道“尽量三等分”的目的是为了使原来较大的数字“降级”，落在较小的标准点的范围内。
而“尽量三等分”法只是化繁为简思想下的一种一般策略，而非唯一策略。
以教材112页“做一做”为例，“有28瓶水，其中27瓶的质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出这瓶盐水？”
使用上述“蠢得死”的方法，需要28÷2=14次，而根据表格可以看出，需要4次。从具体方法上看，用“尽量三等分”的方法，应该分成（9，9，10）。而从“化繁为简”的思想来研究，只要28能分成3份，每份都在10~27之内，就是简化了！因此，“同样”是4次的方法还有（1，1，26）、（2，2，24）、（3，3，22）、（4，4，20）、（5，5，18）、（6，6，16）、（7，7，14）、（8，8，12）、（10，10，8）、（11，11，6）、（12，12，4）、（13，13，2）、（14，14，0），这么多！值得注意的是，（9，9，10）的分法中，分成9，直接降了2级（从28~81区间，通过10~27区间，之间降到4~9区间），而（1，1，26）（2，2，24）（3，3，22）这3种分法，直接降了3~4级，可以说都优于（9，9，10）。因此，只会“尽量三等分”，不算学会了“找次品”。 （二）“优化意识”还要根据实际情况运用
“优化意识”帮助我们不断提高解决问题的效率。通过上面的分析，从盲目分配到有意识、有次序地增加总个数，从画图法到列表法，我们逐步优化规律的表达与总结，最后得到“尽量三等分”的通用方法。而对不同方法的比较分析中我们也可以继续探究是否还有更优的方法。
以教材114页练习二十七第5题为例，“1箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有一袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？”
教材使用“尽量三等分”的方法，每份4袋，不论平衡与否，都要继续从4袋中寻找1袋，都必须称共3次才能保证找出次品。而非常明显的，只要分成（3，3，6），如果次品出现在天平两端的任意一个“3”中，都只要再称1次就保证61
能找出次品，因此这种方法有12 即2 的可能性能够少称1次就保证找出次品，显然是更优的方法——因为（4，4，4）中，都只降了1级，而（3，3，6）中，有两个是降了2级的。
其实教材P113页第2题第4小题就有涉及“从9筐里找次品，两边各放4筐，称1次有可能称出来吗？”讲得就是这个几率的问题。
再以教材113页练习二十七第1题为例，“5瓶钙片中有1瓶是次品（轻一
些），完成下面找次品的过程。”
教材的方法是（1，1，3）（1，1，1），和（2，2，1）（1，1，0）有什么不同呢？在实际操作中，使用（1，1，3）的，如果次品出现在天平两端，第一次就能称出，而使用（2，2，1）的，只有次品正好在天平外，第一次才能称出。也就是说，“尽量三等分”的方法（1，1，3）在这种情况下，一次就称出的几12
率（5 ）只有（2，2，1）几率（5 ）的一半！
最后以教材113页练习二十七第4题为例，“有15盒饼干，其中的14盒质量相同，另有1盒少了几块。如果能用天平称，至少称几次可以保证找出这盒饼干？”
经过上面的分析，你应该知道了，用“尽量三等分”（5，5，5）的方法，1
第一次是不可能找出来的，第二次还用（2，2，1）找出来的几率也只有5 ，而观察15=3+3+9，3和9都是标准点数字，分成（3，3，9）的方法，第一次也不62
可能找出来，但有15 即5 的几率第二次就保证能找出来。如果要第一次能找出2
来，使用（1，1，13）的方法，虽然有15 的可能性一次就找出来，但剩下的1313
没有“降级”到4~9的范围内，仍需3次，也就是说有15 的几率要多测1次，显然得不偿失。因此，本题的最优方法是（3，3，9）。
因此，“找次品”普遍适用的最优方法是在保证“三份（天平两端、天平外）都要降级”的情况下，尽可能地使其中一两份多降几级。按照这个思路，我列出了4~30个物品中找1个次品的“可能的”最优方法。 物品总数 “可能”最物品总数 优的方法 4 5 6 （1，1，2） 13 （1，1，3） 14 （2，2，2） 15 （3，3，0） 7 8 （3，3，1） 16 （3，3，2） 17 （5，5，6） 25 （6，6，5） 26 （9，9，7） （9，9，8） “可能”最物品总数 优的方法 （3，3，7） 22 （3，3，8） 23 （3，3，9） 24 “可能”最优的方法 （9，9，4） （9，9，5） （9，9，6） 9 （3，3，3） 18 （6，6，6） 27 （9，9，0） （9，9，9） 10 （3，3，4） 19 （9，9，1） 28 （3，3，22） （9，9，10） 11 （3，3，5） 20 （9，9，2） 29 （3，3，23） （10，10，9） 12 （3，3，6） 21 （9，9，3） 30 （3，3，24） （9，9，12） 这样看来，能够使天平左右两边放上较小的标准点数字，而天平外放上剩余数字的反而是更优化的通用解法。比如100个，不是分成（33，33，34）方便，反而是（27，27，46）更好一些。但有时无法这么分时，可以考虑用“尽量三等分”的方法（3+3+9=15，9+9=18，9+9+27=45,27+27=54，27+27+81=135，8
81+81=162，„„即从3×2-3+1到3×2-1这一部分数不适用，适用率超过9 ）。
n
n-1
n
四、题目拓展
（一）不知轻重，“找不同”
以教材114页练习二十七第6题为例，“有3袋白糖，其中2袋每袋500g，另1袋不是500g，但不知道比500g重还是轻。你能用天平找出来吗？”
如果是有砝码的天平，依次称出即可，只需要2次。第一次任意取一袋测出重量，如果是500g，说明是正品，不是即为次品，而且知道轻重。第二次再从剩下的两袋中任意取一袋测出重量，如果是500g，说明是正品，剩下的一袋为次品，不是即为次品，而且知道轻重。
如果是没有砝码的天平，也就转换成“不知轻重”的“找不同”问题，可以先找不同，再确定轻重。第一次任意取两袋放在天平两端，如果平衡，说明次品在天平外（还可以再将次品与正品比较，测定轻重）；如果不平衡，说明次品在天平一端，则推理出天平外的是正品，第二次将任一端与正品比较，平衡的都是正品，不一样的即为次品，而且知道轻重。
小练习：有5袋盐，其中4袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重还是轻。你如何用天平称出来？请写出过程。
（二）定量找次品
前面说到，没有砝码的天平是定性测量，只知质量大小，但不知具体质量。而使用“电子秤”等工具的则是定量测量。
例题，一种钢珠每颗10g，在10批钢珠中有1批是次品（每批都生产许多颗钢珠，假设每批内生产的钢珠都相同），每颗只有9g。如何使用一台电子秤一次性测出哪一批是次品？
解析，定量测量的优势在于有数字作支持帮助判断，只要让每批的质量有所差异，就能找出有差异的那一批。可以从第一批中取1颗钢珠，第二批中取2颗，„„，第十批中取10颗，放在一起在电子秤上测量。如果都是正品，一共55颗，应该是550g，但含有次品的几颗会影响总重量——如果第三批是次品，那么从中取出的3颗都会各少1g，总重只有547g，其他以此类推。
小练习：一种零件要求每个20g，在30批中有1批是次品，但不知道比正品重或轻。如果使用电子秤，怎样用最少次数测出哪一批是次品？
仔细分析了“找次品”的来龙去脉后，当你再次使用“尽量三等分”法来找次品时，你的感受一定与以前不同。“人参果”的味道，你造了吗？
参考资料：
人教版《教师教学用书》数学五年级下册，第249~265页。
Edited by hcj0131
2016.5.26
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