数 学 建 模 课 程 论 文
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解决我国房屋泡沫
20 年 月 日
数学建模论文
题目
解决我国房屋泡沫
近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：
1．建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析；
2．通过分析找出影响房价的主要因素； 3．给出抑制房地产价格的政策建议；
4．对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。
目录
数学建模课程论文 .................................................................................................................... 1 题目 ........................................................................................................................................... 2 目录 ........................................................................................................................................... 2 摘要： ....................................................................................................................................... 3 关键词： .................................................................................................................................... 3 问题重述 .................................................................................................................................... 3 问题分析 .................................................................................................................................... 3 合理假设： ................................................................................................................................ 6 符号说明： ................................................................................................................................ 6 模型的建立及求解 .................................................................................................................... 6 模型的检验及应用 .................................................................................................................. 10 结论与小结 .............................................................................................................................. 15 参考文献： .............................................................................................................................. 15
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摘要：房价作为一种价格杠杆，在引导房地产可持续发展和抑制房地产泡沫将起到积极
的作用。科学合理地制定房价，对房地产的发展具有重要意义。本文先从产生房地产泡沫的原因谈起，找出影响房产的相关因素，然后从房地产开发商和消费者两个方面展开讨论，得出两个不同的模型。模型一从开发商的角度建立模型，运用定性的分析方法，分析一个商场中只有一个房地产开发商，两个开个商和多个开发商的情况，运用博弈论的方法给出不同的模型，给出一个从特殊到一般的数学模型，并运用相关的经济理论进行解释；模型二从消费者的角度建立模型，运用有效需求价格，动态地确定消费者的房价的范围。在此基础上，采用一元线性回归，通过推导出的模型和运用大量的数据对模型的进行验证和分析，得出房价与其中几个主要因素的关系： 主要因素 回归方程 复相关系数R GDP与房价 0.98135 人口密度与房0.55250 价 人均可支配收0.93943 入与房价 影响当前房价的主要因素，如社会因素包括国民经济的发展水平、相关税费、居民的收入、政策导向、社区位置等，自然因素包括地价、建安成本和开发商利润等；并在分析影响房价的诸多因素之后，提出了八点政策性建议。
综上所述，运用我们的模型得出相应的房价，然后利用我们相应的政策作为指导，我国的房地产不但会抑制房地产泡沫问题，而且我国的房地产市场将得到持续健康地发展。
关键词：房地产泡沫、回归分析、有效需求模型、GDP、市场 问题重述
近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：
1．建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析；
2．通过分析找出影响房价的主要因素； 3．给出抑制房地产价格的政策建议；
4．对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。
问题分析
所谓房地产泡沫就是指房地产商品的预期价格被大大的高估，从而导致各类投机资本的纷纷进入，通过恶性炒作将现期房地产价格大大抬高。使其价格远远高于其实际价值，从而产生房地产泡沫。
房地产的基本载体是土地。由于土地的不可再生性、稀缺性与供给无弹性将决定土地的升值性。从而使房地产也具有升值趋势。正是由于这一因素才会导致各类房地产投机者进行投机。土地市场是整个社会市场体系中市场等级较低的基础市场之一，因此社会经济的泡沫现象往往先出现在土地市场，然后泡沫向其他市场输出，并最终沉淀在土地市场，因此泡沫
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的代价往往最终由土地市场承担。
为了抑制房地产泡沫，我们必须采取一切可能的方法来控制房地产的价格，来保证人民能够有房来住，通过分析可知，房地产的价格＝地产价格＋房产价格
—房地产价格，—土地价格，—房产价格
由于房产和地产具有自身的特点，而决定了房产的价格在数上是逐渐减少的变动趋势，而地产的价格或地租在数量上则是一个逐渐增加的变动趋势。
如下图一：
图一
由图（一）可以看出房地产的增值性主要是由地产的升值性所决定的。当地产的价格或地租逐渐增加的变动趋势超过房产价格逐渐减小的趋势，则房地产表现为增值性。正是因为土地和房产具有这一特性，决定了房地产发生泡沫现象主要取决于土地的泡沫．
我们又知道房地产价格是人们对房地产效用（能够满足人们某种欲望的能力）的认识、房地产的相对稀缺性我和对房地产的有效需求三者共同作用下而产生的以货币形式来表示的房地产的交换价值.
房地产价格是由人们对房地产所认识的效用决定的。如果我们以居民对住宅的需求为例，我们将城市居民的消费品分为其它消费品
和房地产（住宅）
．其价格分别
为和．因此根据消费者行为理论，消费者总是从其可行的消费集中选择自己效用最大化的消费束．即：
――――目标函数
其中是消费函数，消费束是指人们可以购买一系列商品（消费品最大化消费束是指人们购买消费品中购买欲望最大的那些商品．
那么消费预算中有：
――－约束条件
）；
那么有
设效用函数是可微的，那么解效用最大化问题的拉格朗日函数可能写成：
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其中是拉格朗日乘数。
求拉格朗日函数L分别对X1,X2求一阶偏导数并之为零得出：
F(X1,X2)M1
X1F(X1,X2)M2
X2F(X1,X2)F(X1,X2)/M1/M2 消去拉格朗日乘数，得：X1X2我们称该等式左边为其它消费品与住宅的边际替代率，等式右边的部分称为其它消费品
和住宅的经济替代率。
为实现效用最大化该两个替代率必须相等． 该过程我们可以用图二加以说明：
图二
如果我们取居民开始的无差异曲线为
，那么其预算约束线为
，我们从图（二）
中可以看出，在约束下居民最佳的住宅与其它消费品结合点为.即在 点处可满足居民总效用的最大并且使得总的费用最少。
如果当地价或租金下降，而其它条件保持不变，就会出现下面的情况，相对土地预束线表现为向右移，且止于 ，并与另一条假定的无差异曲线场F2相切于点。在点处也可满足居民消费总效用之最大化并且使得总的费用最少。从从图1 中可以得出，第一种
情况下所要求的住宅效用为于
；第二情况下所需要住宅效用为。由
所以 。
我们得出以下结论：当对住宅的消费量增加，房地产价格下降时，将使居民房地产消费增加，这和普遍的市场需求规律相适应。
由此我们进一步得出房地产价格是由人们对房地产的需求决定的。对当前房地产价格初步分析，也是由于人们对房地产需求所导致的。当人们对房地产需求越大，房地产的价格就越高，相反，价格就低。
此外由于土地具有不可再生的特性．所以其稀缺性比较高。再加上房地产是人类生活的基本物质资料。因此，其稀缺性比其它经济商品更被看重。房地产的价格被看作是稀缺性的
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价值反映。可以认为房地产价格是在结合效用和稀缺性后发生的。
综上所述，房地产价格的产生是由房地产的效用、稀缺性和对房地产的有效需求三者所构成，而且是由这三者相互结合才能发生。
合理假设：
1、 在某个城市中有多个房地产开发商，不存在完全垄断的现象 2、 某一城市的商品房的定价是经过综合分析之后的出来的 3、 我们在求房价的过程中不考虑套利的情况
4、 所在的城市物价和其他情况相对比较稳定，全局内没有大起大落的现象
符号说明：
----------------------- 其它消费品 ----------------------- 房地产
----------------------- 其它消费品的价格 ----------------------- 房地产的价格
------------------- 消费函数 ------------------------ 居民支配消费总额
模型的建立及求解
房价高，对社会影响大，引起社会各方面的注意，与大家都有着关系。对政府来说，要促使社会经济平衡发展，保证社会政治稳定．需要通过各种手段适度控制房地产市场的发展，防止出现的泡沫；对于购房者来说，当然希望房价不要过高，尤其是中低收人者，希望政府有对他们倾斜的购（租）房政策，让他们买（租）得起房。虽说购房群体是有分类的，但由于高端房价上升和实际成本增加，也会引起低端房价乘势上升，使中低收人者望房兴叹；对于理智诚信的开发商来说，他们关心的是利润空间，也不希望房价过高，因为过高的房价会带来高风险。
因此无论从哪个方面看，我们都希望能够得到合理的房价定价模型，给出合理的售价将对政府，购房者，开发商都是有利的。
一、我们从开发商的角度来建立定价模型。
房地产开发商盖房子，在确定房价的过程中，是以追求利润最大化为目的的。再加上中国土地一级市场的垄断，开发成本和交易信息尚不成熟，以及作为大宗资产交易的相对不容易等，很难给出一个城市一个统一的房产定价，面对这种情况，我们只能根据各个开发商自己的情况，制定出一个城市各个开发商相对合理的房价模型。
首先，我们在制定商品房的房价的过程中，应该考虑到住宅商品房的成本价格是从房地产商品开发生产、供给这一角度出发的，即：
房地产成本价格=总开发成本+开发商利润+销售税费+其他费用 （1）
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（一）、整个市场只有一个房地产商开发时，即周围无竞争对手时，这时房地产商处于完全垄断的地位，这对房地产开发商定价的原则是使其利润最大化。根据经济学原理，房地产开发商可采取下面几种方法：
1 .房地产规模未定时：房地产开发商可以根据自己的收益函数与成本函数来决定它的开发规模，从而在它的需求函数上决定房价。
2 ．房地产规模已定时：房地产开发商可以直接在它的需求函数上决定房价。
（二）、整个市场有两个房地产开发商时，当他们不是同时定价时，即有一房地产商1 已定价其房价为 ，则另一房地产商2 定价时，与前房地产商1 构成了子博弈完美纳什均衡，他们的博弈过程如下：房地产商2 根据房地产商1 的定价，决定自己的定价，然后房地产商1 根据房地产商2 的定价，又修改自己的定价。如此反复直至纳什均衡。考虑房地产商品的特性和现实情况，我们只考虑两阶段博弈过程的定价。
假设房地产开发商1 价格为房地产开发商2 价格为 其中
，其需求函数为：
，其需求函数为:
，表明两房产有一定替代性。我们同样假设两房地产开发商无固定成本，
边际成本分别为 和
在该博弈中，两博弈方为开发商1 和开发商2 他们各自的策略空间为 ,其中和是开发商1和开发商2还能卖出
房产的最高价格；两博弈方的得益就是各自的利润，即销售收益减去成本，也即双方价格的函数：
由于本博弈是一个动态博弈，因此我们考虑用逆推归纳法来分析。通过逆推归纳法，可得出：
房地产商1 的定价为：
房地产商2的定价为： 由上述可以看出，同一地方的房价可以有所不同，房价的取决是由开发商各自需求函数和双方博弈得出的结果。
然而一个城市往往有多个开发商，各个开发商所定的房价又往往不同，对于这种情况，我们考虑他们的房产是有所区别的同种商品，故他们处于垄断竞争状态。我们同样用伯特兰德模型来求解：假设房地产开发商1，2…..n 价格分别为别为
P1，P2，Pn，他们的需求函数分
q1，q2，qn：
q1q1(P1,P2Pn)a1b1P1d2P2dnPn
q1q2(P1,P2Pn)a2b2P2d1P1dnPn
qnqn(P1,P2Pn)anbnPnd1P1dn1Pn1
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我们同样假设房地产开发商无固定成本，边际成本分别为c1和
c2cn。在该博弈中，
ax]和s2[0,P2max]，…. 1m博弈方为开发商1，2…n；他们各自的策略空间为s1[0,P2n，其中1是开发商1，2，….n还能卖出房产的最
高价格；博弈方的得益就是各自的利润，即销售收益减去成本，他就是价格的函数：
sn[0,Pnmax]Pmax,Pmax,Pmax
u1P1q1c1q1
u2P2q2c2q2
uPnqncnqn
n因此，在本博弈中，纳什均衡的充分必要条件是只 ，的最大值问题。即只需要求出各房地产开发商对其他房地产开发商的反应函数，然后解出它们的交点就可以了。
二、每一个事物的存在和发展往往有两面性，在从开发商的角度给出定价模型之后,我们发现该定价模型的有利者必定是开发商,不能充分考虑其购买者的利益,所以我们下面从购买者的角度来给出定价模型。
从房地产的有效需求出发给出购买者相对满意的有效需求价格定价模型。
对于购买者而言，量入为出，是消费的基本原则，居民买房时总会根据自己家庭收入的多少来决定是否购房、所购房屋位置及户型面积等，当然，一旦决定买房，多半采取个人住房抵押贷款方式，而不是等攒够钱到十几年后才消费。我国城市居民所能承受的住宅商品价格可以表示为：
其中：
---有效需求价格；
------居民家庭年可支配收入额；
------抵押贷款价值比率（贷款成数）； -------个人住房抵押贷款月利率； -----个人住房抵押贷款月份数；
---月收入中可用于偿还个人住房抵押贷款的最高比例；
---按居民有效需求决定的户型面积； 居民购房能力除了受月偿还额高低影响外，还受到按揭贷款首付款的制约，若家庭目前资产为，该资产中可用于一次性支付首付款的最高比率为动资产，即房价还受到如下公式的约束：
，这主要指变现能力强的流
因此，我国城市居民最高所能承受的住宅商品房有效需求价格模型为：
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我们引进一组数据来求出我们当前的有效需求价格(以2001年为例，见表一)。
12个大中城市居民收入和房价情况 人均可支配收入按2001年收入计人均可支配收入 递增 按2001的6倍房价 (%) 年人均20城市 收入62000年2001年收入排01年比倍的房2001年 2000年 1999年 比1999户均人序 2000递价(元年递增 量(人) 增 /M2) 1 北京 11577.78 10349.7 9182.8 11.87 12.7 3.03 2631 2 上海 12883.46 11718.0 10931.6 9.95 7.2 3 2899 3 天津 8958.70 8140.5 7649.8 10.05 6.4 3.09 2076 4 重庆 6721.09 6276.0 5896.0 7.09 6.4 3.05 1537 5 广州 14418.21 13621.8 12326.0 5.85 10.5 3.12 3373 6 深圳 2267.59 21577.2 20548.4 5.08 5.0 3.33 5662 7 福州 9053.30 8300.4 7413.8 9.07 12.0 3.26 2214 8 大连 7418.16 6860.6 6274.0 8.13 9.3 3.09 1719 9 济南 9564.88 8471.3 7162.5 12.91 18.3 3.02 2166 10 武汉 7305.05 6760.6 6262.1 12.51 5.0 2.97 1618 11 西安 6704.86 6364.2 5998.8 5.35 6.1 3.03 1524 12 银川 6256.61 5621.5 5167.7 11.30 8.8 2.93 1375 表一 我们通过该模型求出了住宅商品房的有效需求价格。如表二,我们选择直辖市及不同人均收入段的12个城市作分析，由于我国恩格尔系数还偏高，因此月还本付息以不高于家庭月收入的35%为宜，为求得居民可承受的最高房价，分析时月还款额取高值即按35%计(即
)，户型面积取
，按揭贷款选15年期（即
），
五年期以上贷款利率均为5.04%，则月利率为0.42%（），银行一般采用7（即
）成按揭，即可求出2001年这12个城市居民可接受的住宅商品有效需求价格，这是在居民有能力支付首付款的情况下表2,确定的住宅商品房有效需求价格，都在收入的6倍以下，是相应城市居民目前可以接受的最高价格。当然，表中数据仅反映在2001年城市居民收入水平上的有效需求价格，随着居民收入水平的不断提高，它们会动态地变化着，并逐步向市场价格靠拢。
12个大中城市的住宅商品房的有效需求房价 2001年居民按收入的6按有效需家庭户均人家庭年均可城市 人均可支配倍确定的房求模型求得的数 支配收入 收入 价(元/M2) 房价(元/M2) 35080.7 2312.97 北京 11577.78 3.03 2631 38650.4 2548.33 上海 12883.46 3 2899 27682.4 1825.18 天津 8958.70 3.09 2076 20499.3 1351.58 重庆 6721.09 3.05 1537 44984.8 2965.97 广州 14418.21 3.12 3373 75499.7 4977.91 深圳 22672.59 3.33 5662 29513.8 1945.92 福州 9053.30 3.26 2214 22922.1 1511.32 大连 7418.16 3.09 1719 28885.9 1904.53 济南 9564.88 3.02 2166 9
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武汉 西安 银川 7305.05 6704.86 6256.61 2.97 3.03 2.93 表二 21696 20315.7 18331.9 1618 1524 1375 1430.48 1339.47 1208.67 从表二数据中我们得到下面图三：
图三
我们从上表中看出按有效需求模型求得的房价比按收入的6倍确定的房价略低。从各个城市比较看，沿海发达地区的有效需求房价偏高，而内陆欠发达地区的有效需求房价相对比较低。
模型的检验及应用
我们从上述建立的模型可以看出，影响其房价的最主要因素之
一是，也就是家庭年均可支配收入。下面我们从其他方面来找出影响房价的主要因素。
一个城市的房屋价格一般被认为与其经济发展水平、居民的收人水平、城市魅力等因素有关。城市魅力因素不能直接表达，用人口密度近似替代。其它变量采用家庭可支配收人、人均GDP。下面我们就从各个方面来考虑房价与其联系。
我们以公开数据(摘自《中国统计年鉴》)为基础，对当前影响全国房地产价格的主要因素进行了分析和讨论。
（一）、我们选取了1992年至2002 年GDP 总量与全国的平均房价之间的关系进行分析。(见下表三)
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1992年至2002 年GDP 总量与全国的平均房价 年GDP总量(亿商品房平均销售价份 元) 格(元/平方米) 1992 26651.9 1050 1993 34560.5 1280 1994 46670.0 1409 1995 57494.9 1710 1996 66850.5 1806 1997 73142.7 1997 1998 76967.2 2063 1999 80579.4 2053 2000 88228.1 2112 2001 94346.4 2170 2002 102398.0 2250
表三
首先对两者的相关性进行分析，结果两者的相关系数R=0.98135。然后检验我国GDP 对房价的影响。在此以每年GDP 总量为自变量，房价为因变量，用最小二乘法求得在最大似然估计值的情况下得下式：
其中，
由此我们得到最小二乘法的回归方程为：
将表一中的数据代入的：
，
我们得到回归方程：
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为各年商品房价格（每平方米价格）, 为每年全国GDP总量。 商品房价格与全国GDP总量关系如下图四:
图四
我们得到相关系数R高达0.98135，且房价对全国GDP 总值的弹性为0 . 016。由此得出结论：房价与GDP正相关，GDP每增长1万亿元可带动房价160元增长。
（二）、下面我们再从人口密度方面考虑，并选12个大中城市的房价与人口密度和家庭人均年可支配收人的关系如下表四：
12个大中城市的房价与人口密度和家庭人均年可支配收人的关系(2002年) 家庭人均房价人口密度城市 人口(万人) 年可支配收人(元) (人／km2) (元) 12453 北京 4764 1136．30 676 13250 上海 4134 1334．23 2300 9338 天津 2487 919．05 835 7200 重庆 1556 546．19 66 13494 广州 4200 720．62 992 2923 877 9154 南京 563．28 9380 福州 2451 597．53 499 2186 649 8721 青岛 715．65 8981 济南 2101 575．01 703 7820 武汉 1928 768．10 913 3072 837 11768 厦门 137．16 7240 石家庄 1811 903．99 574 表四
同样我们对房价与人口密度做回归分析得回归方程：
，复相关系数R=0.55250
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为各年商品房价格（每平方米价格），商品房价格与人口密度关系如下图五:
为人口密度(人／km2)
图五
由此我们得出结论：影响房价另外一个重要变量是地区差异。人口密度对房价有显著的正向作用，地区人口越密集，当地的房价越贵。
我们再对房价与家庭人均年可支配收入做回归分析得回归方程：
,复相关系数R=0.93943
为各年商品房价格（每平方米价格）,为家庭人均年可支配收入(元) 商品房价格与家庭人均年可支配收入关系如图六:
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图六
由此我们得出结论：我们房价与城市居民家庭人年可支配收入进行一元线性回归，回归结果表明，房价与可支配收入显著相关。这也我们前面建立的模型得到的结论正好一致。
下面我们对回归分析结构做总结如表五： 主要因素 回归方程 复相关系数R GDP与房价 人口密度与房价 人均可支配收入与房价 0.98135 0.55250 0.93943
表五
从以上结果我们作出如下结论：
相关系数越高，对房价的影响越大。GDP，人均可支配收入，人口密度与房价均有密切的关系，它们与房价的相关系数均超过了50%，尤其是前两个因素甚至超过了90%，所以我们认为GDP，人均可支配收入，人口密度（即地区差异）是影响房价的主要因素。
以上我们只是分析了与房价密切相关的社会因素，也是比较难确定的因素，当然房价的基本构成因素是不可忽略的，如房地产的造价，土地费用，开发商利润，这些也是影响房价的主要因素，但这些因素的确定相对简单，从我们给出的开发商角度的定价模型就可以得出。
综合上述，影响房价的主要因素有：GDP，人均可支配收入，地区差异，房地产的造价，土地费用，开发商利润等等。
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结论与小结：
由于房价的上涨是诸多因素共同作用的结果,我们针对以上影响房价的因素提出政策性的建议如下:
(1)由于造价是影响住宅售价的关键因素，而造价中的主要构成部分是地价，因此，政府在调控土地供给量同时，应严格控制土地价格，防止因土地供应偏紧，使获取土地的竞争加剧，而在投标或拍卖中哄抬地价.严格禁止土地炒卖和变相炒卖。
(2) 在项目规划建设中，统一公建要求，严格税收制度，杜绝以各种不法手段，逃避社会职责，赚取额外利润. 各项优惠政策应有统一标准,保证开发商同一条件下公平竞争，发挥自身优势，节省成本，降低房价.当然也要杜绝政府公务员的腐败问题。
(2)对于部分房价过高和房价上涨速度过快的地区，尤其是对城市化水平已经相当高的地区，需要研究其房价的形成机制，并予以密切注意。
(4) 促进房地产市场的二、三级市场联动，解决日益增多人口的居住问题。
(5) 建立房地产市场预警机制和信息披露制度，掌握真实的市场走势信息，根据各种房地产指标体系指标的异常波动，及时采取相应的措施。
(6) 利用经济杠杆引导房地产市场的健康发展，积极拓展房地产开发的融资渠道.另外,目前住宅抵押贷款日益成为居民购房的主要资金来源，也是推动我国房地产市场发展的金融动力，因此，当前应该加快住宅抵押贷款合约的标准化，并大力推行固定利率的抵押贷款。
(7)侣导购房者的理性消费概念.购房者要分析楼盘的实际价值，分析自我消费能力与消费群体类别，要使消费能力与消费档次相匹配，不要给开发商有误导和借机发挥的机会，抑制房地市场中的盲目行为。
（8）推行“梯度推进”与“中心城市辐射”相结合的房地产业发展战略。与国家经济重心“北进西移”的变化趋势相适应，使房地产的发展和经济的发展相适应。
以上政策性建议可以科学指导政府利用经济杠杆引导房地产市场的健康发展, 以引导机制为主，强制手段为辅, 发挥市场经济配置资源的优势和各种经济杠杆的导向作用,使得房地产市场稳定健康地发展.以上措施可以杜绝腐败问题,去除房价中的不合理成分.当我们施行贷款合约标准化和固定利率后有助于加强银行业的竞争，并推动资产证券化市场的发展。在一个以固定利率抵押贷款品种为主的市场中，央行可以通过抵押贷款利率的调整来灵活地控制增量贷款需求，同时，也不会对已经发生的存量贷款产生冲击。在这种情况下，可以收到调节市场但不扰乱市场的双重功效。
综合上述,主要国家严控一级市场, 促进房地产市场的二、三级市场,完善金融服务,施行有效的政策策略,房地产市场就可以健康、持续地发展。
参考文献：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
《房地产泡沫形成机理分析》，向阳， 西南民族大学学报，2007 《微分方程模型与混沌》，王树禾，中国科技大学出版社， 2006 《泡沫与泡沫经济非均衡分析》，王子明，北京大学出版社，2002 《地产泡沫与金融危机:国际经验及其借鉴》，谢金荣，经济管理出版社，2002 年度统计数据, http://www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj, 中国统计局，2005-8-24 各地楼市不完全报告,http://www.ce.cn/cysc/fcyj/,中国经济网 中国统计局年鉴
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