湖南省四市九校2012届高三数学第一次联考试题 理

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项正确。

21. 若集合A{x|x9},B{y|3y10}，则集合M{xN|xAB}子集的个数

为( ) A．2 B．4 C．8 D．16

2如果复数2ia1i是实数，（i为虚数单位，a∈R），则实数a的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

3. “非空集合M不是P的子集”的充要条件是 （ ） A．xM,xP B．xP,xM

C．x1M,x1P又x2M,x2P

D．x0M,x0P

4. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（ ）

A．0 B．

32 C．3 D．32 5. 已知

x，y满足约束条件



x－y＋5≥0，x＋y≥0，z＝

x＋y＋2

x＋3

的最小值为（ ） x≤3，

则A. 13 B. 136 C. 4 D. －23

6. 已知某个几何体的三视图如右，根据图中

用心 爱心 专心

- 1 -

标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的 体积是（ ）

A．

23cm 3

B．

233cm 3C．

43

cm 3

D．cm3

837. 若a是1+2b与1-2b的等比中项，则

2ab的最大值为（ ）

a2b

A、

25522 B、 C、 D、 15542

2x2x08. 设函数f(x)，若f(x)是奇函数，则当x∈(0,2]

2g(x)log5(x5x),0x2时，g(x)的最大值是 （ ）

A．

1331 B．－ C． D．－ 4444

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，

9、已知平面向量a，b满足a3，b2，a与b的夹角为60，若(a-mb)a， 则实数m的值为 . 10. 若CnCn,则(x)151xn+3的展开系数中x 的系数是 .

3

11. 已知函数y=f(x)的图象如右图，则满足

2x2x1f(2)flg(x26x20)0的x的取值范围为 。 x2x11 4 2 5 3 6 7 8 9

12. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2……9的9 个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形 所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的 颜色，则符合条件的所有涂法共有 种． 13. 设直角三角形的两直角边的长分别为a,b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有abch 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：①abch；②abch；③

22223333a4b4c4h4；④a5b5c5h5.其中正确结论的序号是 ；进一步得到的一

般结论是 .

用心 爱心 专心

- 2 -

选做题 (14～16)题，考生只能从中选做两题，如果全做，则按前两题记分) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+

π)=2被圆ρ=4截得的弦长4为 ．

15. (几何证明选讲选做题) 已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC =3，∠PAB=30，则线段PB的长为 .． 16. (不等式选讲选做题) 已知aR，若关于x的方程xxa20

1a0 4有实根，则a的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本题满分12分）

已知函数f(x)absinxccosx(xR)的图像过点A(0，，1)B(，1)，且b>0，又f(x)的最大值为221，(1)求函数f(x) 的解析式；(2)由函数y= f (x)图像经过平移是否能得到一个奇函数y=g(x)的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。

18. （本小题满分12分）

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的．．．通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。（1）求的分布列；（2）求的数学期望。

19. （本小题满分12分）

在数列{an}中，a1=2,a2=8，且已知函数f(x)π21*(an2an1)x3(3an14an)x（nN）3在x=1时取得极值.(Ⅰ)求证:数列{an+1—2an}是等比数列,（Ⅱ）求数列an的通项an；（Ⅲ）

*nnn1设3bn(1)an，且b1b2bnm3n()对于nN恒成立，求实数m23的取值范围．

20. （本小题满分12分）

用心 爱心 专心

- 3 -

右图是某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线．（Ⅰ）沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合为点P，请画出其直观图；（Ⅱ）求二面角P-AB-D的大小；（Ⅲ）试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1？

21. （本小题满分13分）

x2y2已知A、B、C是椭圆m:221(ab0)上的三点，其中点A的坐标为(23,0)，BC

ab过椭圆m的中心，且ACBC0,|BC|2|AC|． （1）求椭圆m的方程；

（2）过点M(0,t)的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两 点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点， 且|DP||DQ|.求实数t的取值范围．

22. （本小题满分14分） 已知a∈R，函数f(x)

ax．（1）lnx1，g(x)=(lnx-1)e+x（其中e为自然对数的底数）

x判断函数f(x)在(0,e]上的单调性；（2）是否存在实数x0(0,)，使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直? 若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．（3）若实数m,n满足

nmnn

m>0, n>0,求证：ne≥me.

用心 爱心 专心

- 4 -

湖南省“四市九校”2012届高三第一次联考

理科数学试题 2011.12.08.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项正确。

21. 若集合A{x|x9},B{y|3y10}，则集合M{xN|xAB}子集的个数

为（ C ） A．2 2如果复数2ia是实数，（i为虚数单位，a∈R），则实数a的值是（ D） 1iD．4

B．4 C．8 D．16

A．1 B．2 C．3 3. “非空集合M不是P的子集”的充要条件是 （ D ）

A．xM,xP C．x1M,x1P又x2M,x2P

B．xP,xM D．x0M,x0P

4. 阅读如图所示的程序框图， 输出的结果S的值为（ B ）

A．0 B．开始 3 2s0,n1 n2011 是 sssinn 3否 3C．3 D．

2

x－y＋5≥0，

5. 已知x，y满足约束条件x＋y≥0，

x≤3，

输出s 则z＝nyn21 x＋＋x＋3结束 的最小值为（ A ） 1132A. B. C. 4 D. －

363

6. 已知某个几何体的三视图如右， 根据图中标出的尺寸（单位：cm）， 可得这个几何体的体积是（ C ）

A．

23cm 3

B．

233cm 3C．

43

cm 3

D．cm

833用心 爱心 专心 - 5 -

7. 若a是1+2b与1-2b的等比中项，则

2ab的最大值为（ B ）

a2b

A、25522 B、 C、 D、 15542

2x , -2x0f(x)g(x)log5(x5x2) , 0g(x)的最大值是 （ C ）

13A．4 B．4

31C．4 D．4

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，

9、已知平面向量a，b满足a3，b2，a与b的夹角为60，若(a-mb)a， 则实数m的值为 3 .

10. 若CnCn,则(x)的展开系数中x 系数是 -84 .

11. 已知函数yf(x)的图象如右图，则满足

151x432x2x1f(2)flg(x26x20)0的 x2x1x的取值范围为 x[21)， 。

1 2 3 12. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2……9的9

4 5 6 个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形

7 8 9 所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的

颜色，则符合条件的所有涂法共有 108 种．

13. 设直角三角形的两直角边的长分别为a,b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有abch 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：①abch；②abch；③

22223333a4b4c4h4；④a5b5c5h5.其中正确结论的序号是 ② ④ ；进一步得到的

nnnn一般结论是 abch(nN) . 选做题 (14～16)题，考生只能从中选做两题)

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+为 ． 【答案】43．

用心 爱心 专心

π)=2被圆ρ=4截得的弦长4- 6 -

22【解析】将直线及圆分别化成直角坐标方程：xy22，xy16．利用点到直线

距离求出圆心到直线的距离为2．∴长等于43．

15. (几何证明选讲选做题) 已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC =3，∠PAB=30，则线段PB的长为 .

0

16. (不等式选讲选做题) 已知aR，若关于x的方程xxa有实根，则a的取值范围是 ． 答案 0a21a0 41 4三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本题满分12分）

已知函数f(x)absinxccosx(xR)的图像过点A(0，，1)B(，1)，且b>0，又f(x)的最大值为221，(1)求函数f(x) 的解析式；(2)由函数y=f(x)图像经过平移是否能得到一个奇函数y=g(x)的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。

π2 (2) f(x)12sinx2cosx22sin(x)1，将f(x)的图像向上平移1个单位得到函数y22sin(x)的图像，再向右平移的图像先向上平移1个单位，再向右平移分

18. （本小题满分12分）

用心 爱心 专心

- 7 -

π4π4π单位得到y22sinx的图像，故将f(x)4π单位就可以得到奇函数y=g(x)的图像。……124某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的．．．通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。（1）求的分布列；（2）求的数学期望。

分布列为：

 1 3 4 6 …………………………6分

1111P

366311117（2）E1 346小时…………………………12分

3663219. （本小题满分12分）

在数列an中，a12,a28，且已知函数f(x)*1(an2an1)x3(3an14an)x323（nN）在x1时取得极值. (Ⅰ)求证数列{an+1—2an}是等比数列,（Ⅱ）求数列an*nnn1的通项an；（Ⅲ）设3bn(1)an，且b1b2bnm3n()对于nN恒

成立，求实数m的取值范围．

an｝是首项为1，公差为1的等差数列，....................5分 2naa1∴n＝＋(n－1)×1＝n n22∴数列｛

n∴ann2.....................................................6分

用心 爱心 专心 - 8 -

nn （Ⅱ）由3bn(1)an，bn(1)nn()n

23222232n 令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()＋3()＋…＋n()

3333

1

22222

Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n33333

＋

.......................8分

1222232n2n+1

得Sn＝＋()＋()＋…＋()－n()333333

22n[1－()]332n+12n2n+1 ＝－n()＝2[1－()]－n()

23331－3

2n2n+12n1∴ Sn＝6[1－()]－3n()＜m3n().....................10分

333要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N恒成立,只须m6

所以实数m的取值范围是m6。.......................................12分

＊

20. （本小题满分12分）

如图某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线．

（Ⅰ）沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合为点P，请画出其直观图； （Ⅱ）求二面角P-AB-D的大小；

（Ⅲ）试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1？

（2）由（1）得，PDAD，PDCD，得PD平面ABCD

∴PDAB，而ABAD，PDADD

∴AB平面PAD……………………………………………………………4分 ∴ABAD，ABPA

用心 爱心 专心 - 9 -

∴PAD为二面角PABD的平面角…………………………………6分 又在RtPDA中，PDAD，故PAD∴二面角PABD的平面角为

4

……………………………………………8分 4

21. （本小题满分13分）

x2y2已知A、B、C是椭圆m:221(ab0)上的三点，其中点A的坐标为(23,0)，

abBC过椭圆m的中心，且ACBC0,|BC|2|AC|． （1）求椭圆m的方程；

（2）过点M(0,t)的直线l（斜率存在时）与椭圆m 交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点， 且|DP||DQ|.求实数t的取值范围．

（2）由条件D（0，－2） ∵M（0，t）

1°当k=0时，显然－2用心 爱心 专心 - 10 -

x2y21 消y得 124ykxt(13k2)x26ktx3t2120 …………8分

由△>0 可得 t2412k2 ①………………9分 设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点H(x0,y0) 则x0∴H(x1x23ktt ykxt0022213k13k3ktt,) …………11分

13k213k2由|DP||DQ|OHPQ∴ DH⊥PQ

1即kDH

kt221∴13k3ktk013k2化简得t13k2 ②

∴t>1 将①代入②得 122. （本小题满分14分） 已知a∈R，函数f(x)a．（1）lnx1，g(x)lnx1exx（其中e为自然对数的底数）

x判断函数f(x)在(0,e]上的单调性；（2）是否存在实数x0(0,)，使曲线yg(x)在点xx0处的切线与y轴垂直? 若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．（3）若实数m,n满足

m0,n0，求证：nnemmnen

③若ae，则f(x)0，函数fx在区间0,e上单调递减. ……5分

用心 爱心 专心 - 11 -

（2）解：∵g(x)lnx1ex，x(0,)，

xex1xxg(x)lnx1elnx1e1lnx1ex1lnx1ex1……6分xx，

由（1）易知，当a1时，f(x)即x0(0,)时

1lnx1在(0,)上的最小值：f(x)minf(1)0，x1lnx010． ……8分 ，x0又ex010，∴g(x0)lnx01ex0110． ……9分

x0

用心 爱心 专心 - 12 -