惠州学院高等数学(下)期末试题参考标准答案

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高等数学（下）期末试题参考答案

一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。

1、fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)连续的（ ）。 A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；

C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。 3、设uln(x2y2z2)，则div(gradu)＝（ ）。 A.

1212；B.；C.；D. 22222222222222xyzxyz(xyz)(xyz)3、设D是xoy面上以(1,1),(1,1),(1,1)为顶点的三角形区域，D1是D中在第一象限的部分，则积分(x3ycos3xsiny)d＝（ ）

D A.2cos3xsinyd； B.2x3yd； C.4(x3ycos3xsiny)d； D.0

D1D1D14、设为曲面x2y2R2(R0)上的0z1部分，则ex2y2sin(x2y2)dS＝（ ）。

A.0； B.ReRsinR2； C.4R； D.2ReRsinR2 5、设二阶线性非齐次方程yp(x)yq(x)yf(x)有三个特解y1x，y2ex，

y3e2x，则其通解为（ ）。

A.xC1exC2e2x； B.C1xC2exC3e2x； C.xC1(exe2x)C2(xex)； D.C1(exe2x)C2(e2xx)

1二、填空题（每题３分，总计１５分）。1、-5；2、(1,2,2)；3、(1e1)；

6x14、；5、yC

8y

1、函数f(x,y)2x2axxy22y在点(1,1)处取得极值，则常数a＝_____。 2、若曲面x22y23z221的切平面平行于平面x4y6z250，则切点坐标为______________________。

3、二重积分0dyyyexdx的值为______________。

1134、设空间立体所占闭区域为xyz1,x0,y0，上任一点的体密度是

(x,y,z)xyz，则此空间立体的质量为____________。 5、微分方程yy的通解为_____________________。 2xy三、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、已知f(x,y,z)2xyz2及点A(2,1,1)、B(3,1,1)，求函数f(x,y,z)在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。

2z2、设zf(xy,xy)具有连续的二阶偏导数，求。

xy3、将函数f(x)3展开成x的幂级数，并指出收敛域。 22xx4、设yy(x)满足方程y3y2y2ex，且其图形在点(0,1)与曲线

yx2x1相切，求函数y(x)。

5、计算Lds，其中L是螺旋线x8cost,y8sint,zt对应0t2x2y2z2的弧段。

四、计算题（每题７分，总计３５分）。

123n1、设a0，计算极限lim(23n)的值。

naaaa2、计算zdv，其中由不等式zx2y2及1x2y2z24所确定。

3、计算axdydz(za)2dxdyx2y2z2，其中为下半球面za2x2y2的下侧，

a为大于零的常数。

4、将函数f(x)x(1x1)展开成以2为周期的傅立叶级数。

5、设函数f(x)具有连续导数并且满足f(1)3，计算曲线积分

22L(yf(x)x)dx(xf(x)y)dy的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，

曲线L是由(1,2)到(2,1)的任一条逐段光滑曲线。

五、本题５分。

(1)n对p0，讨论级数的敛散性。 n1n1np一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。 1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ 二、填空题（每题３分，总计１５分）。

x111、-5；2、(1,2,2)；3、(1e1)；4、；5、yC

86y三、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、已知f(x,y,z)2xyz2及点A(2,1,1)、B(3,1,1)，求函数f(x,y,z)在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。 解：由条件得

fff2y,2x,2z xyz122 AB{1,2,2}AB0{,,}{cos,cos,cos}

333122 cos,cos,cos

333从而

ffff10coscoscos= lxyzA(2,1,1)3A点A的梯度方向是lgradf所以方向导数的最大值是

{2y,2x,2z}A{2,4,2}

f2242222426 l2z2、设zf(xy,xy)具有连续的二阶偏导数，求。

xy解：

zf1yf2,xzf1xf2 yf1f22zzfyfyf212xyyxyyy (f11xf12)y(f21xf22)f2

f11(xy)f12xyf22f23、将函数f(x)3展开成x的幂级数，并指出收敛域。 22xx3111112xx21x2x1x21x/2解： nn1x(1)xn(1)n1n1xn2n022n0n0f(x)收敛域为(1,1)。

4、设yy(x)满足方程y3y2y2ex，且其图形在点(0,1)与曲线

yx2x1相切，求函数y(x)。

解：由条件知yy(x)满足y(0)1,y(0)1

由特征方程r23r20r11,r22,对应齐次方程的通解YC1exC2e2x 设特解为y*Axex，其中A为待定常数，代入方程，得A2y*2xex 从而得通解yC1exC2e2x2xex,代入初始条件得C11,C20 最后得y(x)(12x)ex 5、计算ds，其中L是螺旋线x8cost,y8sint,zt对应0t2222xyzL的弧段。

解：dsxt2yt2zt2dt65dt 2dsdt65t65arctan82t288x2y2z2020L65 8四、计算题（每题７分，总计３５分）。

123n1、设a0，计算极限lim(23n)的值。

naaaa解：设s(x)nxn(1x1)，则原问题转化为求和函数在x

n11

处的值 a

而s(x)xnxn1n1xxx(xn)x(xn)x(xxn1)x 21x(1x)n1n1n1a1故所求值为s 2a(a1)2、计算zdv，其中由不等式zx2y2及1x2y2z24所确定。

2212zdvddrcosr解：

004sindr2sincosdr3dr0142

151sin2d2r420841423、计算axdydz(za)2dxdyx2y2z2，其中为下半球面za2x2y2的下侧，

a为大于零的常数。

解：取xoy为xoy面上的圆盘x2y2a2，方向取上侧，则

axdydz(za)2dxdyx2y2z212axdydz(za)dxdya122axdydz(za)dxdyaxdydz(za)dxdyaxoyxoy12(2z3a)dvadxdyaDxy2a1223222ddrcosrsind3aaaaa0032a111a4344cossindrdraa4a3

aa2022

4、将函数f(x)x(1x1)展开成以2为周期的傅立叶级数。

解：所给函数在[1,1]上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在[1,1]内收敛于函数本身。

2(1)n1a02xdx1，an2xcosnxdx2，bn0(n1,2,) 2n001112f(x)22(1)n12cosnx(1x1)

nn15、设函数f(x)具有连续导数并且满足f(1)3，计算曲线积分

22L(yf(x)x)dx(xf(x)y)dy的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，

曲线L是由(1,2)到(2,1)的任一条逐段光滑曲线。 解：由条件有

2xf(x)yyf2(x)x2xfx2ffxy2f21f2f2 xx设zf1，则得z21z2fxx1z1Cx2 3x代入条件得C0f(x)3x，从而原积分变为

2223(yf(x)x)dx(xf(x)y)dy(9xyx)dx(3xy)dyLLL9xydx3xdy9(3x)x3xdx27x12xdx181123223223

五、本题５分。

设D(x,y)x2y21，u(x,y)与v(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，

uuvvFv(x,y)iu(x,y)j,Gxyixyj，且在D的边界曲线L（正

向）上有u(x,y)1,v(x,y)y，证明 FGd

D证明：

FGd[(uxuy)v(vxvy)u]d

DD[(vuxuvx)(vuyuvy)]d

D[D(uv)(uv)]d xyLuvdxuvdyydxydy

Ld

D