立体几何中垂直的证明

学 生 教 学 内 容 重 点 难 点 教 学 目 标 教 学 过 程 性 别 男 年 级 高一 总课时： 小时 第 次课 立体几何中垂直的证明 重点：掌握直线（平面）与平面垂直以及垂直的判定及性质定理. 难点：领悟线（面）面平行和垂直的“转化”的基本思想 1、掌握直线（平面）与平面平行、垂直的判定及性质定理.. 2、掌握立体几何中垂直与平行的证明方法以及计算问题 课 作业完成情况： 前 检 交流与沟通： 查 与交流 线面垂直的判定及其性质 ●知识要点 1.线面垂直 （1）定义： 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作 l. l－平面的垂线，－直线l的垂面，它们的唯一公共点P叫做垂足. （2）判定定理：（线线垂直线面垂直） 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. ☆ 符号语言：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m，n，则l⊥. （3）性质定理：（线面垂直线线平行） 垂直于同一个平面的两条直线平行. 2.二面角 （1）定义： 针 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做二面角的 棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q） 对 （2）二面角的平面角： 在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作性 垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角. 范 围：001800. 授 3.面面垂直 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互课 相垂直. 记作. （2）判定定理：（线面垂直面面垂直） 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （3）性质定理：（面面垂直线面垂直） 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. “垂直关系”常见证明方法 （一）直线与直线垂直的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。 2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。 3) 利用直线与平面垂直的性质： 如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 abab垂直。 b α a 4) 利用平面与平面垂直的性质推论： 如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相labalblβ abb lα a 5) 利用常用结论： ① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。 c a∥bac相垂直。 bca b ② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互 aa abα b b∥（二）直线与平面垂直的证明 1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等 2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。 3) 利用直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。 ababAlalbllbAa 4） 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 laal 5） 利用常用结论： al 6） 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。 a∥bbaa b 7） 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平 面，则该直线也垂直 于另一个平面。 ∥ aaa（三）平面与平面垂直的证明 1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等 2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。 3) 利用平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 aaa 基础练习 1.下列命题是真命题的是 （ ） A.若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面； B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面； C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线； D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一直线必平行于这个平面. 2.已知a,b,c表示直线，M表示平面，则a//b的充分条件是（ ） A、ac且bc B、a//M且b//M C、aM且bM D、a,b与c所成的角相等 3.在长方体ABCDA'B'C'D'中，与平面B'C'CB垂直的直线有 _______； 与直线AA'垂直的平面有 . 4.在正方体ABCDA'B'C'D'中，求直线A'B和平面A'B'C'D'所成的角. P题型一、线面垂直的判定与性质 1、已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC平面PBD 2、已知，如图，四面体A-BCD中，BHCDBCADAABCD,ADBC,H为VBCD的垂心。 求证：AH平面BCD 3、如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，点M,N分别为AB,PC的中点， 求证：MNAB CD中点． (1)求证：EF⊥面BCD； 4、如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F为 5、如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC,PA平面ABCD，且PAAB,点E是PD的中点。 ⑴求证：ACPB； ⑵求证：PB∥平面AEC； 6、 如图，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE. 题型二、面面垂直的判定与性质 1、如图AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC垂直平面PBC。 2、如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B 证明：平面AB1C平面A1BC1； 3、已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD将VBCD折起，使点C移到点C1，且 C1在平面ABD上的射影O恰好在AB上。 （）求证：1ADBC1(2)求证：面ADC1面BDC1. C1BOACD4、如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 （Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1 5、已知四面体ABCD中，ABAC,BDCD,平面ABC平面BCD,E为棱BC的中点。 （1）求证：AE平面BCD; （2）求证：ADBC; 6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC. S A C B 7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD V D A C B 8、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点， （1）求证：BG⊥平面PAD； （2）求证：AD⊥PB； （3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论. 题型三、平行与垂直的综合题 1、已知PA矩形ABCD所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点。（1）求证：MNCD(2)若PDA=45。，求证：MN平面PCD. 2、如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点. （1）求证：C1M⊥平面A1ABB1； （2）求证：A1B⊥AM； （3）求证：平面AMC1∥平面NB1C； 3、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD 4.如图5所示，在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点，F是DC上的点且DF=1AB,PH为PAD中AD边上的高． 2（1） 证明：PH平面ABCD； （2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积； 证明：EF平面PAB． 课堂检测： 课后作业: 签字 老师 课后 评价 教研组长： 教学主任： 学生： 教务老师： 家长： 下节课的计划： 学生的状况、接受情况和配合程度： 给家长的建议：