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立体几何中垂直的证明

来源:好兔宠物网
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学 生 教 学 内 容 重 点 难 点 教 学 目 标 教 学 过 程 性 别 男 年 级 高一 总课时: 小时 第 次课 立体几何中垂直的证明 重点:掌握直线(平面)与平面垂直以及垂直的判定及性质定理. 难点:领悟线(面)面平行和垂直的“转化”的基本思想 1、掌握直线(平面)与平面平行、垂直的判定及性质定理.. 2、掌握立体几何中垂直与平行的证明方法以及计算问题 课 作业完成情况: 前 检 交流与沟通: 查 与交流 线面垂直的判定及其性质 ●知识要点 1.线面垂直 (1)定义: 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面互相垂直,记作 l. l-平面的垂线,-直线l的垂面,它们的唯一公共点P叫做垂足. (2)判定定理:(线线垂直线面垂直) 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直. ☆ 符号语言:若l⊥m,l⊥n,m∩n=B,m,n,则l⊥. (3)性质定理:(线面垂直线线平行) 垂直于同一个平面的两条直线平行. 2.二面角 (1)定义: 针 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做二面角的 棱,这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角-AB-. (简记P-AB-Q) 对 (2)二面角的平面角: 在二面角-l-的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面,内分别作性 垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角. 范 围:001800. 授 3.面面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互课 相垂直. 记作. (2)判定定理:(线面垂直面面垂直) 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. (3)性质定理:(面面垂直线面垂直) 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. “垂直关系”常见证明方法 (一)直线与直线垂直的证明 1) 利用某些平面图形的特性:如直角三角形的两条直角边互相垂直等。 2) 看夹角:两条共(异)面直线的夹角为90°,则两直线互相垂直。 3) 利用直线与平面垂直的性质: 如果一条直线与一个平面垂直,则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 abab垂直。 b α a 4) 利用平面与平面垂直的性质推论: 如果两个平面互相垂直,在这两个平面内分别作垂直于交线的直线,则这两条直线互相labalblβ abb lα a 5) 利用常用结论: ① 如果两条直线互相平行,且其中一条直线垂直于第三条直线,则另一条直线也垂直于第三条直线。 c a∥bac相垂直。 bca b ② 如果有一条直线垂直于一个平面,另一条直线平行于此平面,那么这两条直线互 aa abα b b∥(二)直线与平面垂直的证明 1) 利用某些空间几何体的特性:如长方体侧棱垂直于底面等 2) 看直线与平面所成的角:如果直线与平面所成的角是直角,则这条直线垂直于此平面。 3) 利用直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线垂直于此平面。 ababAlalbllbAa 4) 利用平面与平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 laal 5) 利用常用结论: al 6) 一条直线平行于一个平面的一条垂线,则该直线也垂直于此平面。 a∥bbaa b 7) 两个平面平行,一直线垂直于其中一个平 面,则该直线也垂直 于另一个平面。 ∥ aaa(三)平面与平面垂直的证明 1) 利用某些空间几何体的特性:如长方体侧面垂直于底面等 2) 看二面角:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角(即平面角是直角的二面角),就说这连个平面互相垂直。 3) 利用平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 aaa 基础练习 1.下列命题是真命题的是 ( ) A.若一条直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面; B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面; C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线; D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一直线必平行于这个平面. 2.已知a,b,c表示直线,M表示平面,则a//b的充分条件是( ) A、ac且bc B、a//M且b//M C、aM且bM D、a,b与c所成的角相等 3.在长方体ABCDA'B'C'D'中,与平面B'C'CB垂直的直线有 _______; 与直线AA'垂直的平面有 . 4.在正方体ABCDA'B'C'D'中,求直线A'B和平面A'B'C'D'所成的角. P题型一、线面垂直的判定与性质 1、已知:如图,P是棱形ABCD所在平面外一点,且PA=PC 求证:AC平面PBD 2、已知,如图,四面体A-BCD中,BHCDBCADAABCD,ADBC,H为VBCD的垂心。 求证:AH平面BCD 3、如图,PA平面ABCD,ABCD是矩形,点M,N分别为AB,PC的中点, 求证:MNAB CD中点. (1)求证:EF⊥面BCD; 4、如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,BD∥AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F为 5、如图,在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中,ABAC,PA平面ABCD,且PAAB,点E是PD的中点。 ⑴求证:ACPB; ⑵求证:PB∥平面AEC; 6、 如图,在四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点. (1)求证:CD⊥AE;(2)求证:PD⊥面ABE. 题型二、面面垂直的判定与性质 1、如图AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点,求证:平面PAC垂直平面PBC。 2、如图,棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1CA1B 证明:平面AB1C平面A1BC1; 3、已知:如图,将矩形ABCD沿对角线BD将VBCD折起,使点C移到点C1,且 C1在平面ABD上的射影O恰好在AB上。 ()求证:1ADBC1(2)求证:面ADC1面BDC1. C1BOACD4、如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点 (Ⅰ)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A1B1M1 5、已知四面体ABCD中,ABAC,BDCD,平面ABC平面BCD,E为棱BC的中点。 (1)求证:AE平面BCD; (2)求证:ADBC; 6、S是△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC. S A C B 7、在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD V D A C B 8、如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD边的中点, (1)求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB; (3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD,并证明你的结论. 题型三、平行与垂直的综合题 1、已知PA矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点。(1)求证:MNCD(2)若PDA=45。,求证:MN平面PCD. 2、如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1⊥A1B,M、N分别是A1B1、AB的中点. (1)求证:C1M⊥平面A1ABB1; (2)求证:A1B⊥AM; (3)求证:平面AMC1∥平面NB1C; 3、如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点 求证:(1)直线EF‖平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD 4.如图5所示,在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF=1AB,PH为PAD中AD边上的高. 2(1) 证明:PH平面ABCD; (2) 若PH=1,AD=2,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积; 证明:EF平面PAB. 课堂检测: 课后作业: 签字 老师 课后 评价 教研组长: 教学主任: 学生: 教务老师: 家长: 下节课的计划: 学生的状况、接受情况和配合程度: 给家长的建议:

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