初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

初中阶段因式分解的常用方法（例题详解）

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法.

因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：

一、提公因式法.

如多项式ambmcmm(abc),

其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

二、运用公式法.

运用公式法，即用

a2b2(ab)(ab), a22abb2(ab)2,a3b3(ab)(a2abb2)

写出结果．

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：amanbmbn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=(aman)(bmbn)

=a(mn)b(mn) 每组之间还有公因式！

=(mn)(ab) 思考：此题还可以怎样分组？

此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式：2ax10ay5bybx

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=(2ax10ay)(5bybx) 原式=(2axbx)(10ay5by) =2a(x5y)b(x5y) =x(2ab)5y(2ab) =(x5y)(2ab) =(2ab)(x5y)

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初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

练习：分解因式1、aabacbc 2、xyxy1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：xyaxay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=(xy)(axay) =(xy)(xy)a(xy) =(xy)(xya) 例4、分解因式：a2abbc 解：原式=(a2abb)c =(ab)c =(abc)(abc) 注意这两个例题的区别！

练习：分解因式3、xx9y3y 4、xyz2yz

322322综合练习：（1）xxyxyy （2）axbxbxaxab

22222（3）x6xy9y16a8a1 （4）a6ab12b9b4a

2222432（5）a2aa9 （6）4ax4aybxby

2222（7）x2xyxzyzy （8）a2ab2b2ab1

（9）y(y2)(m1)(m1) （10）(ac)(ac)b(b2a)

222333（11）a(bc)b(ac)c(ab)2abc（12）abc3abc

222222222222222222四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

22 例5、分解因式：x5x6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

2解：x5x6=x(23)x23 1 3 2 =(x2)(x3) 1×2+1×3=5

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用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：x7x6

解：原式=x[(1)(6)]x(1)(6) 1 -1

=(x1)(x6) 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)x14x24 (2)a15a36 (3)x4x5

222练习6、分解因式(1)xx2 (2)y2y15 (3)x10x24

2（二）二次项系数不为1的二次三项式——axbxc 条件：（1）aa1a2 a1 c1

（2）cc1c2 a2 c2 （3）ba1c2a2c1 ba1c2a2c1 分解结果：axbxc=(a1xc1)(a2xc2)

例7、分解因式：3x11x10

分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：3x11x10=(x2)(3x5)

练习7、分解因式：（1）5x7x6 （2）3x7x2

2 （3）10x17x3 （4）6y11y10

（三）二次项系数为1的齐次多项式

22222222222例8、分解因式：a8ab128b

分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b

1 -16b 8b+(-16b)= -8b

22 解：a8ab128b=a[8b(16b)]a8b(16b)

222 =(a8b)(a16b)

练习8、分解因式(1)x3xy2y(2)m6mn8n(3)aab6b

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2x7xy6y 例10、xy3xy2 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=(x2y)(2x3y) 解：原式=(xy1)(xy2)

22练习9、分解因式：（1）15x7xy4y （2）ax6ax8

2263综合练习10、（1）8x7x1 （2）12x11xy15y

222222222222（3）(xy)3(xy)10 （4）(ab)4a4b3

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22初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

（5）xy5xy6x （6）m4mn4n3m6n2

222222（7）x4xy4y2x4y3（8）5(ab)23(ab)10(ab)

222222（9）4x4xy6x3yy10（10）12(xy)11(xy)2(xy)

2222思考：分解因式：abcx(abc)xabc

222222五、主元法.

例11、分解因式：x3xy10yx9y2 5 -2 解法一：以x为主元 2 -1 解：原式=xx(3y1)(10y9y2) (-5)+(-4)= -9 =xx(3y1)(5y2)(2y1) 1 -(5y-2) =[x(5y2)][x(2y1)] 1 (2y-1) =(x5y2)(x2y1) -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)

解法二：以y为主元 1 -1 解：原式=10yy(3x9)(xx2) 1 2 =[10y(3x9)y(xx2)] -1+2=1 =[10y(3x9)y(x1)(x2)] 2 (x-1) =[2y(x1)][5y(x2)] 5 -(x+2) =(2yx1)(5yx2) 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)

练习11、分解因式(1)xy4x6y5 (2)xxy2yx7y6

2222(3)xxy6yx13y6 (4)aab6b5a35b36

22222222222222六、双十字相乘法。

定义：双十字相乘法用于对AxBxyCyDxEyF型多项式的分解因式。 条件：（1）Aa1a2，Cc1c2，Ff1f2

（2）a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D 即： a1 c1 f1

a2 c2 f2

22a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D 22则AxBxyCyDxEyF(a1xc1yf1)(a2xc2f2)

例12、分解因式（1）x3xy10yx9y2 （2）xxy6yx13y6 解：（1）x3xy10yx9y2

应用双十字相乘法： x 5y 2

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222222初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

x 2y 1

2xy5xy3xy，5y4y9y，x2xx

∴原式=(x5y2)(x2y1) （2）xxy6yx13y6

应用双十字相乘法： x 2y 3

x 3y 2

223xy2xyxy，4y9y13y，2x3xx

∴原式=(x2y3)(x3y2)

22练习12、分解因式（1）xxy2yx7y6

（2）6x7xy3yxz7yz2z

222七、换元法。

例13、分解因式（1）2005x(20051)x2005 （2）(x1)(x2)(x3)(x6)x 解：（1）设2005=a，则原式=ax(a1)xa =(ax1)(xa) =(2005x1)(x2005)

（2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=(x7x6)(x5x6)x

设x5x6A，则x7x6A2x

22∴原式=(A2x)Ax=A2Axx

22222222222 =(Ax)=(x6x6)

练习13、分解因式（1）(xxyy)4xy(xy)

（2）(x3x2)(4x8x3)90 （3）(a1)(a5)4(a3)

432例14、分解因式（1）2xx6xx2

观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=x(2xx6222222222222222211112)=x22(x22)(x)6 xxxx1122设xt，则x2t2

xx222t2)t6=x22t2t10 ∴原式=x（2122 =x2t5t2=x2x5x2 xx2122x· =x·2x5·x2=2x5x2x2x1

xx2 =(x1)(2x1)(x2)

22 （2）x4xx4x1

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初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

4122112=xx24x1 xxxx1122 设xy，则x2y2

xx222 ∴原式=xy4y3=xy1y3

11222 =x(x1)(x3)=xx1x3x1

xx4322432练习14、（1）6x7x36x7x6（2）x2xx12(xx)

解：原式=xx4x122

八、添项、拆项、配方法。

32 例15、分解因式（1）x3x4

解法1——拆项。 解法2——添项。 原式=x13x3 原式=x3x4x4x4

=(x1)(xx1)3(x1)(x1) =x(x3x4)(4x4) =(x1)(xx13x3) =x(x1)(x4)4(x1) =(x1)(x4x4) =(x1)(x4x4) =(x1)(x2) =(x1)(x2)

（2）xxx3

解：原式=(x1)(x1)(x1)

=(x1)(xx1)(x1)(x1)(x1) =(x1)(xx1x11) =(x1)(xx1)(x2x3)

练习15、分解因式（1）x9x8 （2）(x1)(x1)(x1)

42422（3）x7x1 （4）xx2ax1a

444222222444（5）xy(xy) （6）2ab2ac2bcabc

34224263363336333396322222223232963九、待定系数法。

22例16、分解因式xxy6yx13y6

22分析：原式的前3项xxy6y可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x3ym)(x2yn)

22解：设xxy6yx13y6=(x3ym)(x2yn)

22∵(x3ym)(x2yn)=xxy6y(mn)x(3n2m)ymn 2222∴xxy6yx13y6=xxy6y(mn)x(3n2m)ymn

mn1m2对比左右两边相同项的系数可得3n2m13，解得

n3mn6∴原式=(x3y2)(x2y3)

22例17、（1）当m为何值时，多项式xymx5y6能分解因式，并分解此多项式。

（2）如果xaxbx8有两个因式为x1和x2，求ab的值。

（1）分析：前两项可以分解为(xy)(xy)，故此多项式分解的形式必为(xya)(xyb) 解：设xymx5y6=(xya)(xyb)

则xymx5y6=xy(ab)x(ba)yab

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22222232初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

abma2a2比较对应的系数可得：ba5，解得：b3或b3

ab6m1m1∴当m1时，原多项式可以分解；

当m1时，原式=(xy2)(xy3)； 当m1时，原式=(xy2)(xy3)

32（2）分析：xaxbx8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如xc的一次二项式。

解：设xaxbx8=(x1)(x2)(xc)

32 则xaxbx8=x(3c)x(23c)x2c

3232a3ca7∴b23c，解得b14， 2c8c4∴ab=21

练习17、（1）分解因式x3xy10yx9y2（2）分解因式x3xy2y5x7y6 （3）已知：x2xy3y6x14yp能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。 4）k为何值时，x2xyky3x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

22222222第 7 7 页 共 7 页