第4章流体动力学基础§4.1 理想流体运动微分方程在运动的理想流体中，取微小平行六面体。设六面体的中心点O’(x,y,z)G速度为u，压强为p。根据牛顿第二运动定律在y方向有∑Fy=may，即：xp(p−∂∂y1§4.1 理想流体运动微分方程§4.2 元流的伯努利方程§4.3 实际流体总流的伯努利方程§4.4 总流的动量方程§4.5 恒定平面势流D'zC'p(x,y,z)B'dzpp+∂∂ydy2A'O’dxDdyAp−∂pdy∂y2CByody2duydt2dy2p)dxdz−(p+∂∂y)dxdz+Yρdxdydz=ρdxdydz§4.1 理想流体运动微分方程§4.2 元流的伯努利方程一、理想流体运动微分方程的伯努利积分X−1∂pρ∂x∂p∂y∂p∂z==duxdtduydt==∂ux∂t∂uy∂t+u∂uxx∂x∂uy∂x+u∂uxy∂y∂uy∂y+u∂uxz∂z∂uy∂z∂uz∂z将理想流体运动微分方程各式分别乘以沿流线的坐标增量dx，dy，dz，然后相加(Xdx+Ydy+Zdz)−⎞1⎛∂p∂p∂pdx+dy+dz⎟⎜ρ⎝∂x∂y∂z⎠duyduxduzdx+dy+dz=dtdtdt1Y−ρ1Z−ρ+ux+uy+uz∂uz∂uz∂uzz=du=+u+ux∂xy∂y+uzdt∂t——理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）34§4.2 元流的伯努利方程积分条件如下：1、质量力只有重力：X=Y=0，Z=-g§4.2 元流的伯努利方程则有⎛u2⎞⎛p⎞−gdz−d⎜⎜ρ⎟⎟=d⎜⎟⎜2⎟⎝⎠⎝⎠Xdx+Ydy+Zdz=−gdz2、不可压缩流体ρ=const 、恒定流动p=p(x,y,z)沿流线积分后有pu2z++=cρg2gu122g⎛p⎞1⎛∂p∂p∂p⎞1⎜dx+dy+dz⎟=dp=d⎜⎟∂y∂z⎠ρρ⎝∂x⎝ρ⎠3、恒定流中流线与迹线重合z1+p1γ+=z2+p2γ+u222gdx=uxdtdy=uydtdz=uzdt22⎛uxduy+uy+uz2⎞⎛u2⎞duxduzdx+dy+dz=d⎜=d⎜⎟⎟⎜⎟2dtdtdt⎝2⎠⎝⎠5——理想流体元流伯努利方程适用条件：无粘性流体，恒定流不可压缩流体质量力仅重力微元流束（元流）6二、理想流体元流伯努利方程的物理意义与几何意义几何意义物理意义位置势能（位能）压强势能(压能)总势能动能机械能机械能守恒7§4.2 元流的伯努利方程理想流体元流伯努利方程的应用——毕托管(皮托管Pitot)测量点流速∆hphp=ρgz+2mgzz=mg位置高度（位置水头）测压管高度(压强水头)测压管水头2u0AuA=0HpHuBApρgu1mu=⋅2g2mg流速高度（速度水头）2pBpBu2p+=Aρg2gρg=Hppu+z+ρg2gz+pu+=cρg2g2总水头总水头线是水平线∵γpA∴=Hu=2g∆h⊿h——测速管与测压管的液面差8γ§4.2 元流的伯努利方程§4.2 元流的伯努利方程三、实际流体元流的伯努利方程¾实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力作功，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失¾粘性流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程不守恒而是减少，总水头线不是水平线，而是沿程下降线则有2p1u12p2u2z1++=z2+++hw'ρg2gρg2g毕托管9式中hw’——实际流体元流单位重量流体由过流断面1-1运动至过流断面2-2的机械能损失，又称为元流的水头损失10§4.3 实际流体总流的伯努利方程一、总流的伯努利方程2p1u12p2u2z1++=z2+++hw'ρg2gρg2g§4.3 实际流体总流的伯努利方程1、势能积分：在渐变流断面或均匀流断面上，有则z+γp=Cpγ∫A(z+pγ)udA=γ(z+pγ)∫udA=(z+Aγ)⋅γQ以单位时间通过元流某过流断面流体的重量乘以元流的伯努利方程ρgdQ=ρgudA=ρgudA11222⎛⎛⎞p1u12⎞p2u2z++ρgdQ=z++⎜1⎟⎜2⎟ρgdQ+hw'ρgdQρg2g⎠ρg2g⎠⎝⎝2、动能积分：γ∫u3A2gdA=32gαυA=γαυ22gγQα是为修正以断面平均速度计算的动能与实际动能的差异而引入的修正系数，称为动能修正系数，其值取决于过流断面上的流速分布情况，分布较均匀的流动取1.05~1.1，通常取13、损失积分：上式对总流过流断面积分2⎛⎛p1⎞u12p2⎞u2z+gudA+gudA=z+gudA+ρρρρgu2dA2+∫hw'ρgdQ⎟22∫112∫⎜1ρg⎟∫2g11A∫⎜ggρ2⎠⎝⎠A1⎝A1AQ22Q∫hw'ρgdQ=hwρgQhw为总流单位重量流体由l-l至2-2断面的平均机械能损失，，称总流的水头损失。1211§4.3 实际流体总流的伯努利方程2⎛⎛p1⎞α1v12p2⎞α2v2ρgQ1+ρgQ1=⎜z2+ρgQ2+ρgQ2+hwρgQ⎜z1+2g2gρg⎟ρg⎟⎝⎠⎝⎠§4.3 实际流体总流的伯努利方程总流能量方程的适用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流或均匀流断面，但两过水断面之间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变，两断面间无合流或分流。（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（7）式中各项均为单位重量流体的平均能（比能），对流体总重量的能量方程，各项相应乘以ρgQ。1314两断面间无分流及汇流Q1=Q2=Q211并以ρgQ除上式222z1+p1αvpαv+=z2+2++hwρg2gρg2g——实际流体总流的伯努利方程§4.3 实际流体总流的伯努利方程总流能量方程应用时的补充说明：（1）计算断面的选取：应将渐变流或均匀流过水断面取在已知参数较多的断面上，并使能量方程中含有所要求解的未知数。（2）过水断面上的计算点原则上可任取，因为Z+γ=C。但是为方便起见，通常对于管流取在管轴中心点，对于明渠取在自由液面上。（3）位置标高的基准面可任选，但对于两个不同过水断面必须选取同一基准面，通常使Z≥0。（4）对于同一问题，必须采用相同的压强标准（若无特殊要求，均用相对压强表示）。15§4.3 实际流体总流的伯努利方程二、总流能量方程的扩展1、沿程流量有变化1Q12Q223Q32α2υ21节点3pγQ1(z1+p1p1γ+p3α1υ122g)=γQ2(z2+2gp2γ+2g)+γQ3(z3+γ+2α3υ3)+γQ2hw1−2+γQ3hw1−3p2z1+z1+γp1++α1υ122gα1υ122g=z2+=z3+γγp3+2α2υ22g2g+hw1−2γ+2α3υ3+hw1−3实际工程中沿程有分流或合流的总流，当所取过流断面为渐变流断面，断面上流速分布较为均匀，并计入相应断面之间的16水头损失，伯努利方程式仍可用于工程计算。§4.3 实际流体总流的伯努利方程2、沿程有能量的输入或输出在流动过程中，若有机械能输出（如水轮机），或输入（如泵或风机），则能量方程形式为：§4.3 实际流体总流的伯努利方程123、两断面间有合流或分流1′1′23z1+γ+式中p12α1υ12g±Hm=z2+γ+p22α2υ2对1’-1’和2-2断面列伯努利方程12g+hw1−22p'1v1'2p2v2+=z2+++h'z+ρg2gρg2gw1−2'13＋Hm——单位重量流体通过流体机械获得的机械能，如水泵的扬程；一Hm——单位重量流体给予流体机械的机械能，如水轮机的作用水头。17因1-1断面为渐变流断面，面上各点的势能相等，则p'1p'=z1+1z1+ρgρg如1-1断面流速分布较为均匀v1'2v12≈2g2g18§4.3 实际流体总流的伯努利方程z'1+所以§4.3 实际流体总流的伯努利方程三、总流能量方程的工程应用能量方程的解题步骤：p'1v1'2pv2+≈z1+1+1ρg2gρg2g近似成立pv2pv2z1+1+1=z2+2+2+hw1−2ρg2gρg2gz1+pvp1v+=z3+3++hρg2gρg2gw1−321231、选择基准面：基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如至少使一个Z为零。2、选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量较多的断面。3、选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面上。4、列能量方程解题，特别注意与连续性方程的联合使用。1920同理应用条件：对于实际工程有分流（或汇流）的总流，过流断面为渐变流断面，断面上流速分布较为均匀，并计入相应断面之间的水头损失。例1 用直径d =100mm的水管从水箱引水。水箱水面与管道出口断面中心的高差H =4m保持恒定，水头损失hw=3m水柱。试求管道的流量。(P57图4.6)2p1α1v12p2α2v2z++=z+++hw12解：ρg2gρg2g为便于计算，选通过管道出口断面中心的水平面为基准面O-O。选水箱水面为1-1断面，计算点在自由水面上§4.3 实际流体总流的伯努利方程例2 文丘里（Venturi）流量计测量管道流量(P286)工作原理：由收缩段、喉管和扩大段三部分组成。在收缩段进口前断面l-1和喉管断面2-2处安装测压管或压差计，实测两断面的测压管水头差，由伯努利方程便可求出管道的流量。12h´12∆h文丘里管d2z1=Hz2=0p1=0（相对压强）p2=0v1≈0od1o选管道出口断面为2-2 断面，以出口断面的中心为计算点v2（待求）则有H=αv2222g+hwv2=2g(H−hl)=4.43m/sQ=v2A2=0.035m3/s选水平基准面O-O，选收缩段进口前断面l-1和喉管断面2-2为计算断面，两者均为渐变流过流断面，计算点取在管轴线上。2122§4.3 实际流体总流的伯努利方程§4.3 实际流体总流的伯努利方程12h´1∆hd22文丘里管od1o列1-1和2-2伯努利方程为（取动能修正系数α1=α2=1，设水头损失很小忽略不计）22z1+得文丘里（Venturi）流量计23p1v1pv+=z2+2+2ρg2gρg2g2v2v2⎛p⎞⎛p⎞−1=⎜z1+1⎟−⎜z2+2⎟2g2g⎝ρg⎠⎝ρg⎠补充连续性方程⎛A⎞⎛d⎞v2=⎜1⎟v1=⎜1⎟v1⎝A2⎠⎝d2⎠224§4.3 实际流体总流的伯努利方程v1=1⎛d1⎞⎜⎟−1⎝d2⎠4§4.3 实际流体总流的伯努利方程π4用U形水银压差计量测得⎜z1+⎝⎛⎞p1⎞⎛p2⎞⎛ρp−1⎟hp=12.6hp⎟−⎜z2+⎟=⎜ρg⎠⎝ρg⎠⎝ρ⎠⎛p⎞⎛p⎞2g⎜z1+1⎟−⎜z2+2⎟ρg⎠⎝ρg⎠⎝Q=v1⋅d12令12πd1K=42g⎛d14⎞⎜4⎟−1⎝d2⎠⎛p1⎞⎛p2⎞=∆h用测压管量测⎜z1+⎟−⎜z2+ρg⎠⎝ρg⎟⎝⎠考虑两断面间的实际水头损失而引入流量系数μ，随流动情况和管道收缩的几何形状而不同K 取决于流量计的结构尺寸，称为仪器常数则有⎛p⎞⎛p⎞Q=K⎜z1+1⎟−⎜z2+2⎟ρg⎠⎝ρg⎠⎝25⎛p⎞⎛p⎞实际流量Q=µK⎜z1+1⎟−⎜z2+2⎟ρg⎠⎝ρg⎠⎝26例3一抽水机管系（如图），要求把下水池的水输送到高池，两池高差15m，流量Q=30l/s，水管内径d=150mm。泵的效率ηp=0.76。已知管路损失（泵损除外）为10v2/(2g) ，试求轴功率(2)(2)§4.3 实际流体总流的伯努利方程四、总水头线和测压管水头线为反映管流全线流速、压强和水头损失的变化而引入水头线：沿程各断面水头的变化曲线。15m0 (1)(1) 0解：取基准0-0及断面1及2，设泵输入的能量为hp ，取α1= α2 =1，则能量方程有：150mmz1+p1γ1+υ2g+hp=z2+2p2γ2+υ2g+hw1,22泵因z1=0，z2=15m，p1= p2=0，且过水断面很大，v1≈v2 ≈0υ=Q0.03==1.7m/sγQhp9.8×0.03×16.47πA2==6.37kWNs=(0.15)0.76η4p2pαυ2+的变化曲线。ρg2gp测压管水头线：对应z+的变化曲线。ρg总水头线：对应z+水力坡度J：指单位长流程的总水头损失J=−dHdhw=dldl)0+0+0+hp=15+0+0+10hp =16.47 m1.719.6测压管水头线坡度JP：单位长流程上的测压管水头线降p落，用测压管测量。−d(z+dlJp=27γ28§4.3 实际流体总流的伯努利方程注意：1、理想流体流动的总水头线为水平线；2、实际流体流动的总水头线恒为下降线，其中沿程损失表现为沿管长倾斜下降的直线，局部损失表现为在障碍处铅直下降的直线。3、测压管水头线沿程可升、可降、可水平。4、总水头线、测压管水头线、水流轴线和基准线这四根线之间的相互铅直距离反映了全线各断面的各种水头值。5、若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=JP。z1p111§4.3 实际流体总流的伯努利方程五、恒定气流能量方程总流能量方程是对不可压缩流体导出的，气体是可压缩流体，但是对流速不很大（υ<68m/s），压强变化不大的系统，如工业通风管道、烟道等，气流在运动过程中密度的变化很小，在这样的条件下，伯努利方程仍可用于气流。ρaρ2z22列1-1和2-2断面的伯努利方程为p22p1absα1v12p2absα2v2z1++=z2+++hw2g2gρgρg各项同乘ρg，转变为压强的因次ρgz1+p1abs+ρv122=ρgz2+p2abs+2ρv2292+pw30§4.3 实际流体总流的伯努利方程工程计算中更多关心的是相对压强¾当液体在管道中流动时，由于液体的密度远大于空气的密度，一般可忽略大气压强因高度不同的差异。¾气体流动则不然，由于气流的密度同管外大气的密度具有相同的数量级，必须考虑外部大气压在不同高度的差值。§4.3 实际流体总流的伯努利方程p1 、p2——相对压强或称静压全压pq=p+ρυ22ρv1222(ρa-ρ)g(z2-z1) ——位压pl——两断面间的压强损失，pl =ρghl2ρv2——动压 、 p1abs=p1+pa1p2abs=p2+pa2=p2+pa1−ρag(z2−z1)p1+代入前式ρv122+(ρa−ρ)g(z2−z1)=p2+2ρv2在许多气体流动问题中，气流的密度和外界空气的密度相差很小(ρa ≈ρ)，或两过流断面的高程差甚小(z2 ≈z1)时，则位压项(ρa-ρ)g(z2-z1)可忽略不计，即2+pw31——用相对压强表示的恒定气体总流伯努利方程p1+ρv122=p2+2ρv22+pw32例自然排烟锅炉如图，烟囱直径d=1m，烟气流量Q=7.135m3/s，烟气密度ρH=0.7kg/m3，外部空气密度ρa=1.2kg/m3，烟囱的压强损失pw=0.035dρυ22，§4.3 实际流体总流的伯努利方程思考题：为使烟囱底部入口断面的真空度不小于10mm水柱。试求烟囱的高度H。解选烟囱底部断面为1-1，出口断面为2-222p1+ρυ122+(ρa−ρ)g(z2−z1)=p2+2ρυ22+pwH1拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？为什么？答案：靠拢；流速增大、压强降低1-1 断面：p1=−98N/m2υ1≈o,z1=02-2断面：p2=0, υ2=QA=9.089m/s, z2=H2O2O1−98+9.8(1.2−0.7)H=0.7×9.089+0.035×H×0.7×92.08921H=32.63m自然排烟需要有一定的位压，否则将不能维持自然排烟。3334§4.4总流的动量方程§4.4总流的动量方程KdKdt动量方程是动量定理的流体力学表达式。1′12dA122′1′1t时流体质点系边界u1dA22′u2K∑F=动量定理：质点系的动量对时间的变化率等于作用于该质点系的所有外力之矢量和，即：KdKdtmu)=∑dtd(K1′12u11′dA222′2′dt时间，元流动量的增量为dA1u21t+∆t时流体质点系边界dK=K1'−2'−K1−2=(K1'−2+K2−2')t+dt−(K1−1'+K1'−2)t恒定流动，dt前后K1'−2无变化，则有恒定总流，取过流断面1-1、2-2为渐变流断面，面积为A1、A2 ，过流断面及总流的侧表面所围空间为控制体。控制体内的流体，经dt时间，由1-2运动到1’-2'位置。在流过控制体的总流内，任取元流，断面面积为dA1、dA2，点流速为u1u235dK=K2−2'−K1−1'=ρ2u2dtdA2u2−ρ1u1dtdA1u1对总流⎡⎤G⎡⎤GdKρudtdAuiρudtdAu=−⎢⎥⎢∑222221111⎥i1∫∫⎢⎥⎢⎥⎣A2⎦⎣A1⎦36§4.4总流的动量方程§4.4总流的动量方程2v2对于不可压缩流体ρ1=ρ2=ρ，并引入修正系数β，以断面平均流速v 代替点流速u的积分，则总流的动量差为∑F=ρQ(β∑F投影式x−β1v1)GG2∑dK=ρdtβvA2 i2−ρdtβ1v1A1 i1[222][]作用于控制体内流体上的外力，等于单位时间控制体流出动量与流入动量之差。=ρQ(β2v2x−β1v1x)=ρdtβ2v2A2v2−ρdtβ1v1A1v1=ρdtQ(β2v2−β1v1)β称为动量修正系数，其值取决于过流断面上的速度分布，速度分布较均匀的流动β=1.02～1.05 ，通常取β=1.0 。JGGG则有F=ρQ(βv2−βv1)∑F∑Fy=ρQ(β2v2y−β1v1y)z=ρQ(β2v2z−β1v1z)应用条件：恒定流；过流断面为渐变流断面；不可压缩流体；无分流或合流。38∑2137§4.4总流的动量方程§4.4总流的动量方程总流动量方程应用时的补充说明：1、∑KF是指作用在该控制体内所有流体质点的质量力（重力）；作用在该控制体边界面上的所有表面力（压力，忽略粘性力）固体边界对水流的作用力特别，计算端面压力时的压强应按相对压强考虑2、若有合流或分流时，动量方程改写为动量方程的解题步骤：1.选控制体根据问题的要求，将所研究的两个渐变流断面之间的水体取为控制体；2. 选坐标系选定坐标轴的方向（有利于投影的简化），确定各作用力及流速的投影的大小和方向；3. 作计算简图分析控制体受力情况，并在控制体上标出全部作用力的方向；4. 列动量方程解题将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动量方程求解。特别注意与能量方程及连续性方程的联合使用。3940∑F=∑(ρQβv)−∑(ρQβv)出入§4.5恒定平面势流§4.5上式是使表达式能成为某一函数恒定平面势流实际流体运动都是有旋运动。只有当切应力远小于其他力时，可以忽略其作用，实际流体可作为理想流体，按无旋运动求近似解。如：边界层外流动、闸下出流、地下水流动等。一、速度势（流速势）∂u⎫1⎛∂u∂u⎞∂uωx=⎜z−y⎟=0 ⇒ z=y ⎪∂z⎠∂y∂z⎪2⎝∂y1⎛∂ux∂uz⎞∂ux∂uz⎪⎪ωy=⎜ ⎬−=⎟=0 ⇒ 2⎝∂z∂x⎠∂z∂x⎪1⎛∂u∂u⎞∂u∂u⎪ωz=⎜y−x⎟=0 ⇒ x=z ⎪2⎝∂x∂y⎠∂z∂x⎭⎪uxdx+uydy+uzdzφ(x,y,z)的全微分的充要条件uxdx+uydy+uzdz=dφ=由上式可得∂φ∂φ∂φdx+dy+dz∂x∂y∂z∂φ∂φ∂φ=ux,=uy,=uz∂x∂y∂z在恒定流动中，无旋运动存在标量场φ(x,y,z)42称为速度势（函数）。既无旋运动的速度矢量是有势的。41§4.5恒定平面势流§4.5二、势流叠加恒定平面势流无旋运动的速度矢量是有势的。无旋运动又称为有势流动、有势流、简称势流。反之，有速度势的流动是无旋运动。将速度势与速度的关系式代入连续性微分方程可得：设两速度势φ1和φ2均满足拉普拉斯方程∂2φ1∂2φ1+=0∂x2∂y2∂2φ2∂2φ2+=0∂x2∂y2∂φ∂φ∂φ+2+2=02∂x∂y∂z——不可压缩均质理想流体恒定势流基本方程凡满足拉普拉斯方程的函数都是调和函数43222则两个速度势之和φ=φ1+φ2也满足拉普拉斯方程∂2φ1∂2φ1∂2φ2∂2φ2+++∂x2∂y2∂x2∂y2=∂2∂2∂2φ∂2φφφφφ(+)+(+)=+=01212∂x2∂y2∂x2∂y244本章小结1. 本章涉及的几个基本概念1）元流：充满在流管中的液流称为元流或微小流束。元流的极限是一条流线。无数元流之和就构成总流。2）过流断面：即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流动方向的横断面，即与元流或总流的流线成正交的横断面称为过流断面。3）点流速：流体流动中任一点的流速称为点流速，常用u表示。一般情况下过水断面上各点的点流速是不相等的。4）平均流速：由通过过水断面的流量Q除以过流断面的面积A而得的流速称为断面平均流速，常用υ表示，即本章小结6）急变流：流线间夹角很大或曲率半径较小或二者兼而有之，流线是曲线。急变流过水断面上的动水压强不按静水压强规律分布。7）动能（动量）修正系数：指按实际流速分布计算的动能（动量）与按断面平均流速计算的动能（动量）的比值。它们的值均大于1.0，且取决于总流过水断面的流速分布，分布越均匀，其值越小，越接近于1.0。一般工程计算中常取1.0。2. 恒定总流连续性方程不可压缩流体无分叉流时：，即Q1=Q2，即任意断面间断面平均流速的大小与过水断面面积成反比。不可压缩流体分叉流动时：∑Q入=∑Q出，即流向分叉点的流量之和等于自分叉点流出的流量之和。5）渐变流：水流的流线几乎是平行直线的流动。或者虽有弯曲但曲率半径又很大的流体流动，则可视为渐变流。渐变流的极限是均匀流。渐变流同一过水断面上的动水压强分布规律同静水压强，即但需要注意：对于不同断面一般不相等。453. 恒定总流能量方程2p1α1v12p2α2v2z1++=z2+++hwρg2gρg2g46=常数。本章小结应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流或均匀流断面，但两过水断面之间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变，两断面间无合流或分流。（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（7）式中各项均为单位重量流体的平均能（比能），对流体总重量的能量方程，各项相应乘以ρgQ。47本章小结4. 恒定总流动量方程∑Fx=ρQ(β2v2x−β1v1x)∑F∑Fy=ρQ(β2v2y−β1v1y)z=ρQ(β2v2z−β1v1z)对于分叉管流，其动量方程应为：JGGF=ρQβv∑∑()出−∑(ρQβvG)入48本章小结注意事项：1）应在两渐变流断面处取脱离体，但中间也可为急变流；2）动量方程是矢量式，应适当选取投影轴，注意力和速度的正负号；3）外力包括作用在脱离体上的所有的质量力和表面力。固体边界对流体的作用力方向可事先假设，若最后得到该力的计算值为正，则说明假设方向正确；若为负，则说明与假设方向相反；4）应是输出动量减去输入动量；5）动量方程只能求解一个未知数，若未知数多于一个时，应联立连续性方程和能量方程求解。49