多体动力学

2021-10-18 来源：好兔宠物网

《多体动力学》课程讲稿

多体动力学

摘要

多刚体系统的位置、姿态、运动及受力分析。

引言 ................................................................................................................................................................ 3 1

矢量 ........................................................................................................................................................ 4 1.1 矢量的定义及符号 ................................................................................................................. 4 1.2 矢量的基本运算 ..................................................................................................................... 5 1.3 单位矢量的定义和符号 ......................................................................................................... 6 1.4 零矢量的定义和符号 ............................................................................................................. 6 1.5 平移规定................................................................................................................................. 6 习题一 .................................................................................................................................................... 6 坐标系 .................................................................................................................................................... 7 习题二 .................................................................................................................................................... 8 矢量的坐标阵和坐标方阵 ..................................................................................................................... 8 习题三 .................................................................................................................................................. 10 方向余弦矩阵 ...................................................................................................................................... 10 4.1 方向余弦矩阵的定义 ........................................................................................................... 10 4.2 方向余弦矩阵的用途 ............................................................................................................ 11 4.3 方向余弦矩阵的性质 ........................................................................................................... 14 习题四 .................................................................................................................................................. 16 欧拉角 .................................................................................................................................................. 16 5.1 欧拉角的定义 ....................................................................................................................... 16 5.2 欧拉角与方向余弦矩阵的关系 ........................................................................................... 17 5.3 欧拉角的奇点 ....................................................................................................................... 19 5.4 确定欧拉角的几何法 ........................................................................................................... 19 习题五 .................................................................................................................................................. 20 矢量在某参照物内对时间的导数 ....................................................................................................... 21 习题六 .................................................................................................................................................. 23 角速度 .................................................................................................................................................. 24 习题七 .................................................................................................................................................. 25 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数 ................................................................................... 25 习题八 .................................................................................................................................................. 28 矢量在两参照物内对时间导数的关系 ............................................................................................... 28 习题九 .................................................................................................................................................. 29 角速度叠加原理........................................................................................................................... 30 习题十 .................................................................................................................................................. 31 角加速度 ...................................................................................................................................... 31 习题十一 .............................................................................................................................................. 31

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角速度与欧拉角对时间导数的关系 ........................................................................................... 32 习题十二 ............................................................................................................................................... 34 点的速度和加速度 ....................................................................................................................... 34 习题十三 ............................................................................................................................................... 36 刚体上固定点及动点的速度与加速度 ....................................................................................... 36 14.1 刚体上固定点的速度与加速度 ........................................................................................... 36 14.2 刚体上动点的速度与加速度 ............................................................................................... 39 习题十四 ............................................................................................................................................... 40 刚体的动力学方程 ....................................................................................................................... 40 15.1 并矢 ....................................................................................................................................... 40 15.2 刚体惯性力向质心简化的主矢和主矩................................................................................ 43 15.3 达朗贝尔原理和动力学方程 ............................................................................................... 45 习题十五 ............................................................................................................................................... 46 约束方程 ....................................................................................................................................... 46 习题十六 ............................................................................................................................................... 48

参考文献 ....................................................................................................................................................... 48

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引言

多体动力学的研究对象是由多个物体通过约束及力元件连接起来的空间机构。

将机构中的物体抽象为柔体，则得到多柔体系统，抽象为刚体则得到多刚体系统。这里只涉及多刚体系统。

欲确定物体的位置、姿态、运动及所受作用力和力矩，例如确定车身在静平衡时的位置和姿态，在一定操纵输入下的运动，以及某种运动下的受力，需要列写和求解包含所关心未知量的方程。

方程包括动力学方程和约束方程。动力学方程是指力与运动间关系的方程。列写动力学方程的方法按依据的原理分为矢量力学方法和分析力学方法。这里只包括直观的矢量力学方法。约束方程是指针对各种约束模型如球铰列出的对物体位置及姿态的限制方程。

下面介绍列写上述方程需要的矢量运算规则、空间刚体的位置和姿态描述方法、运动学关系及达朗贝尔原理。

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1 矢量

1.1 矢量的定义及符号

矢量是具有大小和方向且满足一定运算规则的物理量，如力、位移、速度、加速度、角速度及角加速度。矢量用带箭头的符号表示，如a，b。

ba ccbaab c图1.2-1 两矢量a和b的和为另一矢量图1.2-2两矢量a和b的差为另一矢量  abc （1.2-1） abc （1.2-2） dba 图1.2-3 两矢量a和b的点积为一数量 abbaabcos ........ （1.2-3） ba 图1.2-4 两矢量a和b的叉积为另一矢量d abbaabbad,dabsin ........ （1.2-4） cbc(ab)ca 图1.2-5 三矢量a、b、c的混合积为一数量，代表其组成的平行六面体的体积  b、图1.2-6 三矢量a、c的两重叉积为另一矢量，它位于括号内两矢量所张成的平面内，而与括号外的矢量垂直 (ab)ca(bc)(ca)b ....................................................... （1.2-5） 4

(ab)cacbbca  ................... （1.2-6）a(bc)acbabc《多体动力学》课程讲稿

1.2 矢量的基本运算

矢量的基本运算如图1.2-1~6所示。下面证明（1.2-6）的第一式。令a和b的夹角为，在a和 b所张成的平面内画出两个辅助矢量ga和gb，如图1.2-7所示，其中ga与a垂直，与b夹角小于

190°且gab1，从而ga，矢量gb与b垂直，与a夹角小于90°且gba1，从而

bsing1basin，由于(ab)c位于a和b所张成的平面内，故可设 (ab)cmanb....................................................................................................... 其中m和n为两个待定常数，用g（1.2-7）

a和gb分别点乘上式有

mnggb[(ab)c] ........................................................................................................ （1.2-8）

a[(ab)c].

......................................................................................................... （1.2-9）利用混合积的性质有mg[(ab)c

][gbb(ab)]ng[(ab)c][gc ....................................................................... （1.2-10）aa(ab)]c ........................................................................ （1.2-11）gabagb 图1.2-7 两重叉积证明

由于g(abb b)沿的反方向，且大小为 gbb(a)gbabsinb ........................................................................................ （1.2-12）从而g

abb(同理由于g)b .............................................................................................................. （1.2-13）(ab)沿aa的正向，且大小为 g(aba)gaabsinga ..................................................................................... （1.2-14）从而g

(ab)aa ................................................................................................................. （1.2-15）于是有

mbc .nac.......................................................................................................................... （1.2-16） .............................................................................................................................. （1.2-17）

例1.2-1矢量在以nˆ为单位法向量的平面内的投影矢量p为 pnˆ(nˆ) ................................................................................................................. （1.2-18） 5

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1.3 单位矢量的定义和符号

ˆ。单位矢量可以用来表示单位矢量定义为大小为单位1的矢量，用带“”的符号表示，如x一个方向，如主销的方向，车轮旋转轴线的方向及地面法方向。

1.4 零矢量的定义和符号

大小为零的矢量定义为零矢量，用“0”表示。

1.5 平移规定

将一个矢量在空间平行移动，得到的矢量与原矢量相等。

例1.5-1 一个矢量和一个单位矢量点乘，则得到该矢量在单位矢量方向的投影。

bˆx ˆbcos ................................................................................................................................ （1.5-1） bx

ˆ1和xˆ2点乘为其夹角的余弦。例1.5-2 两个单位矢量x图1.5-1 矢量的投影

ˆ1xˆ2cos x................................................................................................................................ （1.5-2）

习题一

1. 试改正下面各矢量表达式中的错误写法：

1) 矢量a与矢量b的点积为零：ab0

2) 矢量a与矢量b的叉积为零矢量：ab0

3) 矢量a与矢量b的叉积为矢量c：abc

4) 矢量b与c的叉积为一个矢量，矢量a与该矢量叉乘得矢量d：abcd

ˆ，试画图验证如下两个单ˆ，与平面成一般角度的单位矢量为e2. 设某平面M的法向单位矢量为nˆ在该平面的投影方向：位矢量都沿eˆ(eˆnˆ)nˆf1) ˆnˆe2)

ˆgˆeˆnˆnˆe

ˆeˆnˆnˆeˆgˆ。 3. 试证明习题2中的两个单位矢量相等：fˆ夹角为最小的单位矢量。 4. 试在2题的M平面中找到与e5. 已知二矢量a和b不共线，若xayb0，试证明：x0，y0。

6. 空间一点O到某线段AB两端点的位置矢量分别为a和b，试证明点O到线段中点的位置矢量

ab为。

27. 空间一点O到某三角形ABC三顶点的位置矢量分别为a、b和c，试证明点O到三角形形心

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abc（中线交点）的位置矢量为。

38. 空间一矢量a，试借助另一与a不平行的矢量b找到两个与a垂直且相互垂直的矢量。

ˆ，9. 定轴转动刚体轴线方向单位矢量为p刚体上任意矢量为a，当刚体绕轴线转过角之后，a变

ˆ及表示a1。为a1，试用a、p

2 坐标系

坐标系是指由固定在一起的三个相互垂直的单位矢量组成的右手坐标系，三个单位矢量的符号ˆ及zˆ、yˆ的正方向，再转过90ˆ，所谓右手坐标系是指伸出右手，四指先指向x可以人为规定，如xˆ的正向，此时拇指指向zˆ的正向的坐标系，若指向zˆ的负向，则为左手坐标系，我们所使度绕向y用的都是右手坐标系。通常在大地上要建立一个全局坐标系，称为GCS（Global Coordinate System），用来对整个多体系统提供一个统一的参照坐标系。在物体上要建立一个局部坐标系，称为BCS（Body Coordinate System），一方面用来描述物体在GCS内的位置和姿态，另一方面，为物体上的点或其它坐标系提供局部的确定位置和姿态的标准。此外，在物体上可以根据需要建立其它的坐标系，例如，为描述物体上的约束及列写约束方程，需要建立约束的坐标系。

例2-1 一个单位矢量和一个坐标系的三个单位矢量分别点乘，则得到该单位矢量在这个坐标系里的三个方向余弦。 ˆxˆcos .................................................................................................................................... （2-1） eˆyˆcos ................................................................................................................................... （2-2） eˆzˆcos .................................................................................................................................... （2-3） e

例2-2 根据平行四边形法则有矢量在坐标系中的分解，如图2-1所示。

ˆzzˆzˆyˆxˆxxˆyy ˆyyˆzzˆ ..................................................................................................................... （2-4） xx图2-1 矢量在坐标系内的分解

ˆ ........................................................................................................................................ （2-5） xxˆ ....................................................................................................................................... （2-6） yyˆ ........................................................................................................................................ （2-7） zz

《多体动力学》课程讲稿

例2-3 一个坐标系的三个单位矢量间的点乘和叉乘关系为

ˆxˆ1,xyˆxˆ0,zˆ0,ˆxˆˆxx0,yˆxˆzˆ,ˆyˆ,ˆxzˆyˆ0,xˆyˆ1,yˆzˆ0xˆzˆ0yˆ0,zˆyˆzˆ1z .................................................................................... （2-8）

ˆyˆzˆzˆˆ,xˆyxˆyˆ0,ˆzˆˆxyyˆxˆ,zˆyˆzˆ0z习题二

1. 试说明一个右手坐标系只要两个单位矢量确定了，另外一个单位矢量就可随之确定。

ˆ及zˆ、yˆ的像分2. 将一个坐标系放于镜子前，镜中像为一个左手坐标系。设坐标系的单位矢量xˆ及zˆ、yˆ和zˆ'，现在只保留像xˆ'，并按右手坐标系的约定确定一个新的右手坐标系，别为xˆ和zˆ、yˆ、zˆ，试利用xˆ、yˆ表ˆ'，设镜面向外的法向单位矢量为nˆ及n其三个单位矢量分别xˆ和zˆ、yˆ'。示x'\"''''\"3 矢量的坐标阵和坐标方阵

ax,ay和az，则由平行四边形法则知a可表示为 ˆayyˆazzˆ ..................................................................................................................... （3-1） aaxxa在该坐标系内的坐标阵定义为

ax ......................................................................................................................................... （3-2）

aayaz坐标方阵定义为

对矢量进行运算可以借助于它的坐标阵和坐标方阵。

ˆ和zˆ，yˆ，矢量a在该坐标系的各方向上有三个投影：设某坐标系的三个单位矢量分别为x同样，对于矢量b，在同一坐标系内也有 ˆbyyˆbzzˆ ...................................................................................................................... （3-4） bbxx0~aazayaz0axayax ............................................................................................................. （3-3） 0bx ......................................................................................................................................... （3-5）

bbybz8

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0~bbzby于是

bz0bxbybx .............................................................................................................. （3-6） 0ˆayyˆazzˆbyyˆbzzˆ)(bxxˆ)axbxaybyazbzaTbbTa ............. （3-7） ab(axx这是用坐标阵计算矢量点乘的关系式。由于一个矢量在不同的坐标系内会有不同的坐标阵，所以进

行两个矢量点乘运算时，必须使用其在同一个坐标系内的坐标阵。

按定义有两个矢量a和b的叉积为另一矢量d ˆayyˆazzˆbyyˆbzzˆ)(bxxˆ)dab(axxˆˆˆxyz ........................... （3-8）

ˆˆˆaxayaz(azbyaybz)x(azbxaxbz)y(aybxaxby)zbxbybz则d在同一坐标系内的坐标阵为

dxazbyaybzabab ....................................................................................................... （3-9）

ddxzyzxdzaybxaxby而按矩阵相乘有如下两等式成立

0azaybxazbyaybza0ababab........................................................................... （3-10） xyxz zzxayax0bzaybxaxby0bzbyaxazbyaybzabab ........................................................................ （3-11） bz0bxayxzzxbybx0azaybxaxby于是

~~bbdaa ............................................................................................................................... （3-12）

这是用坐标阵表示的叉乘关系式。同样需要强调的是，进行两个矢量叉乘运算时，必须使用其在同一个坐标系内的坐标阵或坐标方阵。矢量运算与相应坐标阵运算的对应关系见表3-1。表3-1 矢量运算和相应坐标阵运算的关系矢量表达式坐标阵表达式 cab cab ab dabba (ab)c d(ab)c da(bc) aTbbTa ~~bbdaa ~b)Tc (a~a~b dc~~bdac 规定零矢量的坐标阵和坐标方阵均用零矩阵0表示。规定3乘3单位阵用E表示。

ˆ和Zˆ、Yˆ，则它们在GCS内的坐标阵和坐标方阵分例3-1 设全局坐标系GCS的三个单位矢量为X

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别为

1000~,X

X000100100001~,Y

Y100001000010~,Z

Z01001000ˆYˆ0在GCS内的坐标阵形式为 X0T0 XY10010ˆYˆZˆ在GCS内的坐标阵形式为 X

00000~10Z XY00101001

同一个矢量在不同坐标系内的坐标阵不同，但二者可以通过方向余弦矩阵进行转换。

习题三

1. 试写出下列矢量关系式在某一坐标系内的坐标阵形式：

1) a(bc)

2) a(bc)

2. 已知某车轮轮心在GCS内的坐标为（0，-800,300）（mm），印迹中心在GCS内的坐标为（-1，

-805，0）（mm），地面在印迹中心处对轮胎的垂直力为3000N，试求垂直力对轮心的力矩矢量在GCS内的坐标阵。

ˆˆˆˆˆYˆ，某坐标ˆ3. 已知GCS的三个单位矢量分别为XG、YG和ZG，矢量aXGYG，bXGGˆs沿b向，ˆs沿a向，x系s的单位矢量z试求坐标系s的三个单位矢量在GCS内的坐标阵和坐标

方阵。

4 方向余弦矩阵

4.1 方向余弦矩阵的定义

ˆ,yˆ,zˆ,yˆ,zˆ和xˆ，且分别称之为r坐标系和b坐标设有两个坐标系，其单位矢量分别为x系，如图4.1-1所示。

rrrbbb《多体动力学》课程讲稿

ˆbyˆbxˆryˆbzˆrxˆrz

利用b坐标系各单位矢量在r坐标系内的九个方向余弦可以构造出以下表格中右下角的33矩阵

图4.1-1 r坐标系和b坐标系

Aˆrxrbˆbxˆbxˆrxˆbyˆrxˆbzˆrxˆrxˆrxˆbxˆryˆbxˆrzˆbxbrˆbyˆbxˆryˆbyˆryˆbzˆryˆryˆrxˆbyˆryˆbyˆrzˆbyˆbzˆrˆbxz .................................................................................................. （4.1-1） brˆˆyzˆbzˆrzˆrzˆbˆrxz .................................................................................................. （4.1-2） rbˆˆyzˆrzˆbzˆryˆrzAˆbxbr称之为b坐标系相对r坐标系的方向余弦矩阵。同样可以构造出r相对b的方向余弦矩阵

ˆbyˆbzrb比较有

A(A)T .................................................................................................................................. （4.1-3）

即二者是互为转置关系。

ˆZGˆYGˆbzˆXGˆbxˆby

ˆ转90度，如图4.1-2所示，则b相对G例4.1-1 设有b坐标系开始时与G坐标系重合，然后绕ZG和G相对b的方向余弦矩阵分别为

图4.1-2 b坐标系和G坐标系

AˆXGˆYGˆZGGbAˆbxbGˆbx010ˆXGˆbzˆby10 ....................................................................................................................... （4.1-4）

0001ˆZˆYGGˆbyˆbz0101000 .................................................................................................................... （4.1-5） 014.2 方向余弦矩阵的用途

 方向余弦矩阵的用途之一

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方向余弦矩阵可以用来描述两个坐标系之间的相对姿态。

 方向余弦矩阵的用途之二

方向余弦矩阵的主要作用是进行坐标阵的变换。设任一矢量在b和r坐标系的坐标阵分别为

r和b

rxrry ...................................................................................................................................... （4.2-1） zrbxbby ...................................................................................................................................... （4.2-2） zb则有

rArbb .................................................................................................................................... （4.2-3） bAbrr .................................................................................................................................... （4.2-4）

据此，也称A为从b坐标系到r坐标系的坐标变换矩阵，A为从r坐标系到b坐标系的坐标变换矩阵。下面证明以上两式。

矢量在r坐标系内可以表示为

rrrrˆyˆzrzˆr .............................................................................................................. （4.2-5） xxyrbbr

在b坐标系内可以表示为

bbbbbbˆyˆzˆ ............................................................................................................. （4.2-6） xxyz由于以上两式表示的是同一个矢量，故有

rrrrbbbbbbˆyˆzrzˆyˆzˆrxˆ ............................................................................ （4.2-7） xxyxyzˆ和zˆ，yˆ点乘上式有分别用xrbbbbbbˆxˆryˆxˆrzˆr ...................................................................................... （4.2-8） ˆxxxxyzrrrrbbbbbbˆyˆryˆyˆrzˆr...................................................................................... （4.2-9） ˆyyxxyzbbbbbbˆzˆzˆryˆrzˆzˆr ....................................................................................... （4.2-10） zrxxyz以上三式即为（4.2-3）式，同理可证得（4.2-4）式。

ˆZGˆYGˆbzˆXGˆbxˆby

例4.2-1 如图4.2-1所示，矢量在b坐标系内的坐标阵为

图4.2-1 b坐标系、G坐标系及矢量 

1.5

b0

................................................................................................................................... （4.2-11）0则在G坐标系内的坐标阵为

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0101.5001.5 .......................................................................... （4.2-12）

GAGbb100

00100Gb其中A为从b到G的坐标变换矩阵。

ˆ、Yˆ和Zˆ，某轿例4.2-2 如图4.2-2所示，全局坐标系GCS的原点为O，三个单位矢量分别为XGGGˆc、yˆc和zˆc，其指向如图所示。车车身质心坐标系cm的原点为车身质心C，三个单位矢量分别为xˆczˆcxˆcyCrO1ˆZGOˆYGRCRˆXG图4.2-2 车身质心和右前轮心

从O到C的位置矢量为RC，从C到O1的位置矢量为r，O1为右前轮轮心，从O到O1的位置矢量为R。矢量RC在GCS内的坐标阵为

1500G(mm) ........................................................................................................................ （4.2-13）RC0

450矢量r在cm内的坐标阵为

1233C(mm) ...................................................................................................................... （4.2-14）r760

120ˆ反向，yˆ反向，试求矢量R在GCS内的坐标阵。 ˆc与Xˆc与Y已知xGG解：从cm到GCS的坐标变换矩阵为如下表格右下角的33矩阵 GCˆcyˆczˆcAxˆX100GˆYGˆZ001001 ........................................................................................................................ （4.2-15）

G则由于

RRCr ...................................................................................................................................... （4.2-16）从而有R在GCS内的坐标阵为

RRCAr ......................................................................................................................... （4.2-17）

代入数字有

GGGCC 13

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150010012332733G010760760(mm) .......................................................... （4.2-18）R0

450001120330

 方向余弦矩阵的用途之三

方向余弦矩阵也可以实现坐标方阵的变换。同一矢量在坐标系r和b内的坐标方阵分别为和，则其关系为：

brrb证明：设有任意矢量d，它在r和b内的坐标阵分别为d和d，则 dAd .........................................................（4.2-20）

令

bbrrrArbbAbr .....................................................（4.2-19）

cd .............................................................（4.2-21）

则矢量c在r和b内的坐标阵分别为 r~rdr ...........................................................（4.2-22） cb~bdb ...........................................................（4.2-23） c而

cAc ..........................................................（4.2-24）

从而将上面两式代入有

rrbb~rdrArb~bdb...............................................（4.2-25） 又将dAd代入有

bbrr从而由矢量d的任意性知上面的坐标方阵的变换公式成立。上式可以直接地理解为左端为d在r

内的坐标阵，右端末尾两项为矢量d在b内的坐标阵，末尾三项为d在b内的坐标阵，从而右

端四项代表d在r内的坐标阵，与左端当然相等。

~rdrArb~bAbrdr ........................................（4.2-26） 4.3 方向余弦矩阵的性质

 性质一

方向余弦矩阵的转置为其逆矩阵，即有

Arb(A)1 ................................................................................................................................. （4.3-1）

br由（4.2-4）有

r(Abr)1b .............................................................................................................................. （4.3-2）

与（4.2-3）相减有

[A(A)1]0 .................................................................................................................. （4.3-3）

由矢量的任意性即有（4.3-1）式。

 性质二

rbrbbrb若除r和b坐标系外，另有一个坐标系s，可以定义A和A，则有

rssb

证明：设矢量在s坐标系内的坐标阵为，则

AAA ................................................................................................................................. （4.3-4）

srssbrArss ..................................................................................................................................... （4.3-5）

《多体动力学》课程讲稿

sAsbb ..................................................................................................................................... （4.3-6）

于是将后式带入前式有

rArsAsbb .............................................................................................................................. （4.3-7）

又

rArbb ..................................................................................................................................... （4.3-8）

故有

bˆ2eˆ1bearˆ2ebˆ3e(AAA)0（4.3-9）

由矢量的任意性即有（4.3-4）式。

当直接计算A很复杂而计算A和

rbrsrbrssbb30A较简单时，可以利用这个结论分

步计算A。若有多个坐标系，则可连续应用这个结论。例如再有一个w坐标系，则有

sbˆer3AAAA（4.3-10）

例4.3-1 边长为a的正方体上有两个

rbrsswwbˆeˆ1ser1ˆ3seˆ和eˆ，如图4.3-1所示，坐标系，eˆ2在eˆ内的试求A和A，并写出eˆ的三个单位矢量表示分量形式（用eˆbe。 2）

解：

(0.1)

rˆ2esin30rˆ3e0brrrbbr

brrbA ˆes2图4.3-1 正方体

Aˆ1reˆeˆe

rbˆ1becos30sin300bˆ2ebˆ3erˆsin30eˆ1rcos30eˆ2e（4.3-13）

r2r3b2sin30cos300Aˆ1b0e（4.3-11）bˆ20ebˆ31eˆ1recos30sin300cos30001（4.3-12）

ˆ内的坐标阵。例4.3-2 如图4.3-1所示，试求矢量在坐标系e解：

ba

ra.............................................................. （4.3-14）

acos30cos30sin30sin300abAbrbsin30cos300aasin30cos300011aˆ，原点为A，如图4.3-1所示，已知例4.3-3 设有一坐标系es （4.3-15） 100rs ............................................. （4.3-16） A001010

《多体动力学》课程讲稿

ˆ的姿态。试画出eˆ的姿态如图4.3-1所示。解：画出的e

ss习题四

ˆ转动30，试求此时该坐标系相对GCS的方1. 设某坐标系开始时与GCS重合，然后绕GCS的X向余弦矩阵。

ˆ转动30，试求此时该坐标系相对GCS的方2. 设某坐标系开始时与GCS重合，然后绕GCS的Y向余弦矩阵。

ˆ转动30，试求此时该坐标系相对GCS的方3. 设某坐标系开始时与GCS重合，然后绕GCS的Z向余弦矩阵。

4. 已知某坐标系相对GCS的方向余弦矩阵为

001，试画出其相对GCS的姿态。

A010100ˆ在GCS内的坐标阵分别为x和y，试求其相对GCS的方向余ˆ和y5. 已知某坐标系的单位矢量xˆˆˆˆˆYˆ ，某坐ˆ6. 已知GCS的三个单位矢量分别为XG、YG和ZG，矢量aXGYG，bXGGˆs沿b向，试求GCS相对坐标系s的方向余弦矩阵。 ˆs沿a向，x标系s的单位矢量z

弦矩阵。

5 欧拉角

5.1 欧拉角的定义

为描述两个坐标系的相对姿态，可以采用方向余弦矩阵，但它有九个元素。若用欧拉角，只需

三个角度。设有两个坐标系r和b，b相对r的任一姿态，都能找到一组欧拉角（，，）和它对应。为说明b相对r在某一姿态下对应欧拉角的意义，首先使b与r重合，然后使b绕r的第三轴转角，角度正负按右手定则判断，此时b转到一个新姿态，再使b绕其新姿态下的第一轴转角，从而b转到第二个新姿态，最后，使b绕第二个新姿态下的第三轴转角，就到达上述b相对r的姿态。这三次按顺序转动的转角、和就是描述b相对r的姿态的欧拉角。

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ˆryˆux90ˆvx90ˆxrˆuyˆvzˆbxˆvyˆbzˆrzˆzu90ˆby图5.1-1 欧拉角为（90，90，90）度

例5.1-1 试画出b坐标系相对r坐标系的欧拉角为（90，90，90）度时两个坐标系的相对姿态。

5.2 欧拉角与方向余弦矩阵的关系

ˆ和zˆ和zˆ、yˆ、yˆr，坐标系b的分别为xˆb。设b相对r的设坐标系r的单位矢量分别为x某一姿态对应的欧拉角为（，，）。如图5.2-1所示，借助于一个正方体可以使表示欧拉角的

rrbbˆ转角，到达中间姿态，用坐标系u表示，相应的图形清晰一些。首先使b从与r重合的姿态绕zˆ和zˆ、yˆ转角，到达另一中间ˆ，此时它们恰沿着正方体的三个棱边。再使u绕x单位矢量为xˆ和zˆ、yˆ，最后使v绕zˆ转角，到达b相对r的姿态，用坐标系v表示，相应的单位矢量为x上述姿态。 vvruuuuvvˆvyˆuyˆuyˆbyˆvyˆryˆxuˆbxˆuxˆvxˆvzˆbzˆvxˆrzˆuzˆxrˆuzˆvz如图5.2-1所示，已知（余弦矩阵

图5.2-1 在正方体上表示的欧拉角，，），为求b相对r的方向余弦矩阵，先分别求出三个简单的方向

Aˆrxruˆuxcs0ˆuysc0ˆuz0 ....................................................................................... （5.2-1） 01ˆryˆrz 17

《多体动力学》课程讲稿

AˆuxˆuyˆuzAˆvxuvˆvx100ˆbxcs0ruˆvy0csˆbysc0uvvbˆvz0 ......................................................................................... （5.2-2） scˆbz0 ........................................................................................ （5.2-3） 01vbˆvyˆvz利用

ArbAAA ............................................................................................... （5.2-4）

则可求得b相对r的方向余弦矩阵

Aˆrxrbˆbxccscsscccsssˆbycssccsscccscˆbzsscscˆryˆrz .................................. （5.2-5）

只要给定欧拉角，就可以求出相应的两个坐标系之间的坐标变换矩阵。反过来，若给定b相对r的方向余弦矩阵

a11rbAa21a31a12a22a32a13a23.............................................................................. （5.2-6） a33与式（5.2-5）比较有

ca33 ............................................................................................................... （5.2-7）

ssa13 ..................................................................................................... （5.2-8） csa23ssa31 ........................................................................................................ （5.2-9） sca32从而有

ca33 ............................................................................................... （5.2-10） 2s1csa13s ................................................................................................ （5.2-11） cas23sa31s ...................................................................................................... （5.2-12） cas32此时，三个角的正弦和余弦值都知道了，那么三个角就可以精确确定了。

例5.2-1 设坐标系b相对r的欧拉角为（90，90，90）度，试求相应的方向余弦矩阵。

将90、90及90代入式（5.2-5）有

18

《多体动力学》课程讲稿

Aˆrxrbˆbx001ˆby010ˆbz1 ............................................................................................ （5.2-13） 00ˆryˆrz

5.3 欧拉角的奇点

给定一个方向余弦矩阵，可按上节公式确定对应的欧拉角。当0或时，无法唯一确定

ˆb与zˆr同向（0）或反向（）时的位角度和。这个位置称为欧拉角的奇点，也就是z置。当0时，由式（5.2-5）知

Aˆrxrbˆbxˆbyˆbz0 .................................................................... （5.3-1） 01ˆryˆrzc()s()s()c()00此时给定方向余弦矩阵，只能确定出，而和有无数组解。若规定0，则可唯一定出。当时，由式（5.2-5）知

Aˆrxrbˆbxˆbyˆbz0 .................................................................. （5.3-2） 01ˆryˆrzc()s()s()c()00此时给定方向余弦矩阵，只能确定出，而和有无数组解。若规定0，则可唯一定出。

当接近于零或角时，sin0，因此在奇点附近，由方向余弦矩阵确定欧拉角会有较大误差。

5.4 确定欧拉角的几何法

给定两个坐标系的方向余弦矩阵，可用上面的计算法精确确定欧拉角。给定两个坐标系相对姿

ˆ、y和zˆ，b态的几何图形，也可以用几何法大致确定欧拉角。设r坐标系的单位矢量分别为xˆ和zˆ、yˆ，如图5.4-1所示，则几何法确定欧拉角的具体步骤为坐标系的单位矢量分别为xˆyrrrrbbbˆbyˆb平面与xˆryˆr平面的交线； 1) 画出xˆbyˆbxˆ，2) 沿此交线画出一个单位矢量x其指向通过

uˆrzˆuxˆrzˆb来确定（这是为了使为正且小于z，否则可取另一方向）；

ˆu重合的角为欧拉角的ˆr绕zˆr转至与x3) 则使x第一角；

ruˆ转至与zˆ绕xˆ重合的角为欧拉角的第4) 使z二角； ˆ绕zˆ重合的角为欧拉角的第ˆ转至与x5) 使x三角。

ubˆrxbb

ˆbz图5.4-1 几何法确定欧拉角

《多体动力学》课程讲稿

例5.4-1 坐标系b和r的相对姿态如图5.4-2 a)所示，已知

Aˆrxrbˆbx001ˆby010ˆbz1（5.4-1） 00ˆryˆrz试用分别用几何法和计算法确定b相对r的欧拉角。

解：几何法确定欧拉角的过程如图5.2-2 b)所示，计算过程如下

acos(a33)acos(0)90 .............................................................. （5.4-2）

atan2(a13,a23)atan2(1,0)90 ............................................ （5.4-3） atan2(a31,a32)atan2(1,0)90 .............................................. （5.4-4）

这里采用了matlab中的函数acos和atan2。.

ˆryˆryˆrxˆrxˆrzˆrzˆuxˆbzˆbzˆbxˆbyˆbxˆbya)

图5.4-2 坐标系b和r

例5.4-2 坐标系b开始时与坐标系r重合，然后绕r的Y轴转角，试用几何法确定此时b相对r

的欧拉角。

解：如图5.4-3所示，相应的欧拉角为(90,,90)。

ˆuxˆryˆby习题五

1. 已知前悬架左侧车轮BCS相对GCS的欧拉角为ˆbx（359.9, 89, 0）（deg），车轮BCS原点在GCS内

的坐标为（0, -800, 300）（mm），试画出两个坐

ˆrˆ标系的相对位置和姿态。车轮BCS的单位矢量zx沿车轮自转轴线方向，试画出车轮相对地面的姿态。

2. 已知转向盘BCS的原点在GCS内的坐标为（900, rˆ-300, 700）（mm），转向盘BCS相对GCS的欧拉z角为（270, 106, 90）（deg），试画出两个坐标系

ˆbzˆ沿的相对位置和姿态。转向盘BCS的单位矢量z转向盘对称轴线，试画出转向盘相对地面的姿图5.4-3 绕Y轴转动后对应的欧拉角

《多体动力学》课程讲稿

态。

ˆ转过30度角，试用几何法确定该坐3. 已知某坐标系从与GCS重合的位置绕GCS的单位矢量X标系相对GCS的欧拉角。 ˆˆˆˆˆˆˆ4. 已知GCS的三个单位矢量分别为X、Y和Z，矢量aXY，bXY ，某坐标系s的

ˆs沿b向，试求坐标系s相对GCS的欧拉角。 ˆs沿a向，x单位矢量z5. 若坐标系b相对r的欧拉角为(,,),则r相对b的欧拉角为(,,)。试分别用几何法

和利用方向余弦矩阵的计算法验证这个结论。

6 矢量在某参照物内对时间的导数

R ˆrxˆrzˆry图6-1 空间矢量和参照物R

一个标量对时间的导数用来描述标量变化的快慢。标量变化的快慢与观察者所在的参照物无关。为描述矢量随时间的变化，下面将定义矢量在某参照物内对时间的导数。矢量的变化包括其大小以及方向的变化。参照物不同，观察到的同一矢量的大小（标量）变化是相同的，但方向变化不一定相同，例如墙上的时钟，分针相对地面在作顺时针方向转动，而相对秒针却作逆时针方向转动。因此总的来说，所观察到的矢量的变化随观察者所在参照物不同而不同。所以，讨论标量的变化不必涉及参照物，但讨论矢量的变化，必须明确参照物。

如图6-1所示，空间任意矢量在固定于参照物R上的坐标系r内可以表示为

rrˆryˆrzrzˆr ................................................................................... （6-1） xxy通过上式，在参照物R内观察到的矢量的大小和方向的变化，就表现为三个标量x、y及z的

rrrˆryyˆrzzˆr，从而变化。在t时间内矢量在参照物R内的变化量为xxryzrxˆrˆrˆr，两边取极限则有矢量在参照物R内对时间的导数定义为 xyzttttrr(r)dydzrddxˆrˆrˆr ............................................................. （6-2） xyzdtdtdtdt(r)d这个导数仍然是一个矢量，用于描述在参照物R上看到的矢量的变化。符号中左上角标

dtrrrr“（r）”的括号内为固定于参照物R上的坐标系r的符号，用于代表参照物R，在Adams/Car中习惯

d采用这种标记方式，也可以表示为。

dtR 21

《多体动力学》课程讲稿

对矢量求导不指明参照物是没有意义的，求导符号必须有左上角标，除非参照物是不言自明的。符号上加一点常用来表示标量对时间的导数，如果用到矢量上，须指明参照物。

d若对矢量在参照物R内进一步对时间求导，可表示为

dtrr(r)(r)2d2yd2zrd(r)ddd2xˆrˆrˆr ...........................（6-3） ()xyz2222dtdtdtdtdtdt设m为一标量，为另一矢量，则容易证明，在某参照物R内对矢量的求导满足以下运算规则

(r)(r)d(m)dmdm ..........................................................................（6-4） dtdtdt(r)d()(r)d(r)d() ......................................................................（6-5）

dtdtdt(r)(r)(r)d()dd() .............................................................（6-6）

dtdtdt(r)d()(r)d(r)d() .........................................................（6-7）

dtdtdtˆ表示矢量的方向，则若用表示矢量的大小，用单位矢量(r)(r)ˆd(r)dddˆ)ˆ(............................................................. （6-8）

dtdtdtdtd其中为标量对时间的导数，用来描述矢量大小变化的快慢，与参照物无关。可见，与参照物

dt(r)ˆd有关的部分为上式第二项中的，即方向改变的快慢。

dt(r)B ˆryˆbyˆbxP

lR Oˆbˆrzzˆrx图6-2 相对参照物R做定轴转动的刚体B

例6-1 刚体B为一杆件，长为l，相对参照物R(大地)做定轴转动，则固定于刚体上的矢量在刚体这个参照物内对时间的导数为零，而在大地内对时间的导数不为零。

ˆr、yˆr和zˆr，假设固定于大地上的坐标系r的原点为O，如图6-2所示，三个单位矢量分别为xˆb、ˆr沿旋转铰轴线方向，固定于刚体B上的坐标系b的原点也取为O，三个单位矢量分别为x其中zˆb和zˆb与xˆr之间的ˆb，其中zˆb也沿旋转铰轴线方向，则当刚体转动时，b相对r做定轴转动，设xy转角为。从O点向刚体的另一端点P引矢量，则为固定于刚体B上的矢量。

ˆb ............................................................................................................................. （6-9） lx在刚体B内对时间的导数为

矢量可在刚体B上的坐标系b内表示为

《多体动力学》课程讲稿

(b)ddlˆb0 .......................................................................................................... （6-10） xdtdt矢量可在大地上的坐标系r内表示为

即在刚体B上看，矢量是不变化的，或者说，P点相对刚体的速度为零。

dtdtdtl(sinxˆrcosyˆr)lyˆbˆrlsinyˆr lcosx.................................................................................................. （6-11） 在大地内对时间的导数为 (r)dddsinxcosyˆr(lsin)yˆrlˆrlˆr(lcos)x .......................... （6-12）

ˆb方向，大小为角速度与杆长l的即点P相对大地的速度为不为零，其方向垂直于杆件轴线即沿y积。

习题六

1. 从时钟的中心向分针的端点引一个矢量，试画出t0和t1两个时刻下该矢量在表盘上的位置；想象将一张纸固定在秒针上，试画出两时刻下该矢量在这张纸上的位置。比较表盘上和这张纸上两个矢量的差矢量。 2. 试证明式（6-4）~（6-7）。

3. 试证明式（6-8）式右端两项所代表的矢量是相互垂直的。

4. 参见图6-1，为空间任意矢量，R为一参照物，r代表R上的一个固定坐标系，单位矢量分别

ˆr、yˆr和zˆr。在r内的坐标阵为。令s为另外一个任意选定的固定于参照物R上的坐为xˆs、yˆs和zˆs。在s内的坐标阵为。按矢量在参照物内对时间导数标系，单位矢量分别为xsrdˆrx的定义有，

dt(r)ˆry二者为同一矢量，都是矢量在参照物R内对时间的导数矢量。

dˆsˆrr，zxdt(s)ˆsy(s)ddˆss，试证明z，即

dtdt(r) 23

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7 角速度

B ˆbzR ˆbxˆby图7-1 刚体B和参照物R

在刚体B上固定坐标系b，如图8-1所示，则刚体B相对参照物R的角速度定义为

(r)ˆbx(r)bˆbdyˆbˆbyzdt(r)ˆbdzˆbzˆbxdt(r)ˆbdxˆb ............................................ （7-1） ydt其中的三个标量可用符号表示为

xˆbdydt(r)ˆbdzydt(r)ˆbdxzdtrˆb .......................................................................................................... （7-2） zˆb .......................................................................................................... （7-3） x它们分别是在坐标系b各轴向的分量，从而也有

ˆb .......................................................................................................... （7-4） yrbRˆbyyˆbzzˆb ...................................................................................... （7-5） bxxBr刚体B相对参照物R的角速度也可以用符号、或表示，固定于刚体或参照物上

的坐标系可以用来代表刚体或参照物，总之，左上角标代表参照物，右上角标代表拥有该角速度的对象。当刚体相对参照物做定轴转动或平面运动时，刚体相对参照物的角速度可简单地表示为

BRbˆ ...................................................................................................................... （7-6） kbˆ沿定轴转动的轴线方向或垂直于平面运动所在平面方向，为转动角度，如图7-2其中单位矢量kr所示。这样的角速度称为简单角速度。

式（7-6）可以由角速度的一般定义推导出来。如图7-2所示，在参照物R上固定坐标系r，在

ˆ，令xˆb和xˆr的夹角为，则 ˆrzˆbk刚体B上固定坐标系b，使zˆbcosxˆrsinyˆr ................................................................................................ （7-7） xˆbsinxˆrcosyˆr ............................................................................................. （7-8） yˆbzˆr ......................................................................................................................... （7-9） z将它们在参照物R中对时间求导有

《多体动力学》课程讲稿

R ˆrzˆkˆbzB ˆbyˆrxˆbxˆry图7-2 刚体B相对参照物R作定轴转动

或平面运动

(r)ˆbdx(sinxyˆrcosyˆr)ˆb .................................................................... （7-10） dt(r)ˆbdy(cosxxˆrsinyˆr)ˆb .................................................................. （7-11） dt(r)ˆbdz0 ................................................................................................................... （7-12） dtˆbxb(r)代入定义式

rˆbdyˆbˆbyzdt(r)ˆbdzˆbzˆbxdt(r)ˆbdxˆb ........................................... （7-13） ydt即有

rˆ .......................................................................................................... （7-14） zkˆbb

习题七

ˆ和zˆ、yˆ，在刚体B上固定一坐标系b，1. 在参照物R上固定一坐标系r，其单位矢量分别为xrrra11a12rbˆb和zˆb、yˆb。其单位矢量分别为x已知b相对r的方向余弦矩阵为Aa21a22a31a3211a12a13a(r)(r)(r)ˆbˆbrbˆbdxdydz对时间的导数阵为Aa21a22a23，试求dt、dt及dt。

31a32a33a2. 试求上题中刚体B相对参照物R的角速度在坐标系b内的坐标阵。

3. 试求1题中参照物R相对刚体B的角速度在坐标系r内的坐标阵。

a13rba23，Aa338 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数

b

如图8-1所示，矢量固定在刚体B上，刚体B相对参照物R的角速度为，则矢量在参

r《多体动力学》课程讲稿

B ˆbzˆbxˆbyR ˆrzˆrxˆry图8-1刚体B上的固定矢量和参照物R 照物R内对时间的导数可通过与的叉积获得

(r)rbd这与先将在固定于参照物R上的坐标系内分解，然后再按矢量导数的定义求相比，显然简

dt(r)drb ...................................................（8-1） dt捷得多。对于定轴转动和平面运动刚体上的固定矢量，这个结论是我们早已熟知的，下面证明这个结论适用于在空间做任意运动的刚体。证明：由于 ˆbxˆb1 ............................................................（8-2） x上式两边在参照物R内对时间求导有

(r)(r)ˆbˆbdxdxˆˆxbxb0 ..............................（8-3） dtdt矢量点积与顺序无关，从而

(r)ˆbdxˆb0 x.....................................................（8-4） dt又由于

ˆb0 ............................................................（8-5） ˆbxz上式两边在参照物R内对时间求导有

(r)(r)ˆbˆbdzdxˆbzˆbx0 ..............................（8-6） dtdt移项有

(r)(r)ˆbˆbdzdxˆbˆb ..................................（8-7） xzdtdt(r)由刚体角速度的定义有

rˆbxbˆbdyˆbˆbyzdt(r)ˆbdzˆbzˆbxdt(r)ˆbdxˆb ........................................................... （8-8） ydt从而

《多体动力学》课程讲稿

(r)ˆbˆbdzdxˆb(xˆbˆbzˆb)xˆbˆbxxydtdt(r)(r)(r)ˆbˆbˆbdydzdxˆˆˆˆˆˆˆb ........................................ （8-9） ˆbybxbˆbxbxbxbzxbzydtdtdt(r)(r)ˆbˆbdzdxˆˆˆbˆzbxbybydtdtrb(r)ˆbdyˆbˆbyzdt(r)考虑（8-4）和（8-7）有

rˆbxˆbxb(r)b(r)ˆbdxˆbyˆbxdt(r)ˆbdxˆbzˆbydt(r)ˆbdxˆbzdt(r)ˆbdx ..................................... （8-10） dt同理可证

ˆbdy ........................................................................................................................ （8-11） dt(r)ˆbdzrbˆbz ......................................................................................................................... （8-12）

dtrˆby将矢量表达为

ˆbyyˆbzzˆb ........................................................................................................... （8-13） xx将其在参照物R内对时间求导有

(r)dxdt(r)ˆbdxydt(r)ˆbdyzdt(r)ˆbdz .......................................................................... （8-14） dt考虑（8-10）、（8-11）和（8-12）有

(r)dˆbyrbyˆbzrbzˆbxrbxdtˆbyyˆbzzˆb)rb(xx ................................................................ （8-15）

rb证毕。

例8-1 考虑b相对r的角速度的定义

rˆbxb(r)ˆbdyˆbˆbyzdt(r)ˆbdzˆbzˆbxdt(r)ˆbdxˆb ............................................................ （8-16） ydt由于

ˆbrbdxˆb ........................................................................................................................... x（8-17）

dt(r)ˆbrbdyˆb y........................................................................................................................... （8-18）

dt(r)ˆbrbdzˆb ........................................................................................................................... z（8-19）

dt所以

(r)ˆbdyˆb)zˆbzˆb ............................................................ ˆb(rbyˆbrb(yˆb)rbxz（8-20）

dt(r)ˆbdzˆb(rbzˆbrb(zˆb)rbyˆb ............................................................ ˆb)xˆbxx（8-21） dt(r)ˆbdxˆb(rbxˆb)yˆbrb(xˆbyˆb)rbzˆb ........................................................... y（8-22） dt从而可以理解角速度定义式中，以上三项确为角速度矢量在各轴上分量。

(r)《多体动力学》课程讲稿

ˆ为时钟转轴方向的单位矢量，垂直表盘向里，则秒针相对表盘的角速度为例8-2 设k盘ˆ ............................................................................................................................... （8-23） 秒盘秒k其中

秒2（弧度分） ............................................................................................................... （8-24）

ˆ秒，则，设秒针方向的单位矢量为e（盘）盘ˆ秒dedt

ˆeˆ秒盘秒kˆ秒 ............................................................................................ （8-25） 盘秒e习题八

ˆ和zˆ、yˆr，在刚体B上固定一坐标系b，1. 在参照物R上固定一坐标系r，其单位矢量分别为xrrˆ和zˆ、yˆ。在刚体B上有一固定矢量，它在b内的坐标阵为。已知其单位矢量分别为xbbb，试求矢量在参照物R内对时间b相对r的方向余弦矩阵为A，A对时间的导数阵为A的导数矢量在r内的坐标阵。

rbrbrb2. 接上题，设刚体B相对参照物R的角速度为，试利用求矢量在参照物R内对时间的

导数矢量在r内的坐标阵。 3. 利用以上二题的结果，试证明刚体B相对参照物R的角速度在b内的坐标方阵为

rrrbrbb~bAbrA。 rb

9 矢量在两参照物内对时间导数的关系

S ˆszR ˆsxˆsyˆrzˆrxˆry 如图9-1所示， 为空间任意矢量，R和S为两个参照物，则矢量在两个参照物内对时间的导数一般是不相等的，存在如下关系

(r)图9-1 空间矢量和两个参照物 ddt(s)drs....................................（9-1） dt28

《多体动力学》课程讲稿

其中为S相对R的角速度。证明：

在S上固定坐标系s，则矢量可在s内表示为

rsˆsyyˆszzˆs ................................................................................... xx（9-2）

将其在参照物R内对时间求导有

(r)(r)(r)(r)ˆsdyˆsdzˆsdxdydzddxˆsxˆsyˆszxyzdtdtdtdtdtdtdt(r)(r)(r)dyˆsˆsˆsdxdxdydzdzˆsˆsˆs)(x(xyzyz)dtdtdtdtdtdt(s)dˆsyrsyˆszrszˆs) (xrsxdt(s)drsˆsyryˆszrzˆs)(xxdt(s)drsdt ..................................................................................................................................................... （9-3）证毕。

rd(s)drsrs例9-1 在（9-1）式中，若0，则有。即当S相对R平动（为零）或dtdts(r)与矢量平行时，在两个参照物内对时间的导数相等，例如，与定轴转动刚体的转轴平行的矢量。特别地，当就是时，与自身不但平行而且相等，恒有照物R和S内对时间的导数相等。

rsrs(r)drsdt(s)drsrs，即在参dt习题九

BB1. 设空间刚体A相对刚体B的角速度为，B相对A的角速度为，试利用（9-1）式证明

AABAAB。

2. 参见图9-1，空间矢量在s坐标系内的坐标阵为，从s到r的坐标变换矩阵为A，它们与

srs

d时间的关系已知，试求在s和r坐标系内的坐标阵。

dt(r)d3. 接上题，试求在s和r坐标系内的坐标阵。

dt(s)

《多体动力学》课程讲稿

10 角速度叠加原理

S ˆszR ˆsxˆsyB ˆbzˆbxˆrzˆrxˆryˆby图10-1 刚体B和两个参照物 rbrssb ...................................................（10-1）

rbrssb其中为刚体B相对参照物R的角速度，为参照物S相对参照物R的角速度, 为刚体B

rb相对参照物S的角速度，这就是角速度叠加原理。当直接求较复杂，而求等式右端的角速度较

简单时，可以应用上式。证明：

对于任意一个固定于刚体B上的矢量有

(r)

如图10-1所示，刚体B相对参照物R的角速度可借助参照物S表达为

drb ...................................................（10-2） dt(s)dsb ...................................................（10-3） dtd(s)drs ....................................（10-4） dtdt又

(r)所以

rbsbrs ..............................（10-5）

由矢量的任意性知（10-1）式成立。

例10-1 车轮相对大地的角速度等于车身相对大地的角速度加上车轮相对车身的角速度。

例10-2分针和时针相对表盘的角速度关系为

盘分时分盘时 ........................................................................................... （10-6）

则

时分盘分盘时 .......................................................................................... （10-7）

由于

《多体动力学》课程讲稿

盘分2(弧度60分)时30..................................................... （10-8） (弧度分)

盘6(弧度60分)360(弧度分) ................................................... （10-9）

则

时分3036011(弧度/分) .............................................................. （10-10） 360

习题十

1. 试通过角速度的定义式证明角速度叠加原理。

2. 试利用角速度叠加原理证明刚体A相对刚体B的角速度与B相对A的角速度大小相等，方向

相反。

11 角加速度

假设为刚体B相对参照物R的角速度，则刚体B相对参照物R的角加速度定义为

RRBdRBBdRB ................................................................................. （11-1）

dtdtBR即求角加速度时，可以将在参照物R内对时间求导，也可以在刚体自身内对时间求导。

RB习题十一

1. 试说明角加速度在一般情形下不存在类似角速度的叠加原理。

2. 试证明刚体A相对刚体B的角加速度与B相对A的角加速度大小相等方向相反。

《多体动力学》课程讲稿

12 角速度与欧拉角对时间导数的关系

B ˆbzˆrzˆbyR ˆryˆbxˆrx

图12-1 刚体B与参照物R

刚体B和参照物R如图12-1所示，刚体上固定坐标系b相对参照物上坐标系r的欧拉角为、

和，则刚体B相对参照物R的角速度rb为

xrbzzˆuˆrˆb................................................................................................... （12-1） ˆˆˆxucosxrsinyrrrb在r坐标系内的坐标阵为

ss ............................................................................. （12-2）

cscbrrx0crry0szr10欧拉角对时间导数用在r坐标系内坐标阵表示为

rs/tgcs/src/tgsc/sbr1xr0y ........................................................................ （12-3）

rzb在b坐标系内的坐标阵为

bxssc0b .............................................................................. （12-4） byscs0bz01c欧拉角对时间导数用在b坐标系内坐标阵表示为

rbb32

《多体动力学》课程讲稿

s/scs/tgc/ssc/tgb0xb0y .......................................................................（12-5）

b1z

ˆr转，v从与u重合位置绕证明：按欧拉角的定义，引入辅助坐标系u和v，u从与r重合位置绕zˆu转，b从与v重合位置绕zˆvzˆb转，则得到刚体的一个位置。当刚体B相对参照物R运动x时，欧拉角、和则随时间变化，即当b相对r运动时，辅助坐标系u相对r做定轴转动，转角为第一欧拉角，辅助坐标系v相对u做定轴转动，转角为第二欧拉角，而b相对v做定轴转

动，转角为第三欧拉角。

从而由角速度叠加原理知（12-1）式

xrbzzˆuˆrˆb ...................................................................................................（12-6） ˆucosxˆrsinyˆrxˆu的关系式可由u与r的相对位置获得。由欧拉角与方向余弦矩阵的关系知，坐标系成立，上式中xb相对坐标系r的方向余弦矩阵为下表中的右下角矩阵

Aˆrxˆyˆrzrbˆbxccscsscccsssˆbycssccsscccscˆbzsscscr .................................... （12-7）

这里c代表cos，s代表sin。由方向余弦矩阵的定义知，各元素为两个坐标系单位矢量间的点积，例如

ˆrss ..................................................................................................... （12-8） ˆbxzˆrcs .................................................................................................. （12-9） ˆbyzˆbzˆrc .......................................................................................................... （12-10） z从而

ˆrcsyˆrczˆbssxˆr .......................................................................... （12-11） z将上式和（12-6）的第二式代入（12-6）的第一式中有

rˆrsyˆr)(ssxˆrcsyˆrczˆr(cxˆr) bz.....................................（12-12） ˆr(scs)yˆr(c)zˆr ....................................（12-13） b(css)xrbr整理有

r令角速度矢量在坐标系r内的三个坐标分别为x、y和z，则有

rrxrcss ..........................................................................................................（12-14）

ryscs ..........................................................................................................（12-15） zrc .....................................................................................................................（12-16）

整理成矩阵形式即为（12-2）式。

为用x、y和z表示、和，即证明（12-3）式，将式（12-14）两边同乘c，将式（12-15）两边同乘s，然后将所得二式相加有

rr.............................................................................................................（12-17） xcys

将式（12-14）两边同乘s，将式（12-15）两边同乘c，然后将所得二式相减有

rrxs/syc/s ...............................................................................................（12-18）

rrr上式代入式（12-16）中又有

rrzrxs/tgyc/tg ..................................................................................（12-19）

《多体动力学》课程讲稿

以上三式写成矩阵形式即为（12-3）式。重复类似的过程可以得到（12-4）和（12-5）式。

习题十二

1. 参见图12-1，刚体B上有固定坐标系b，参照物上有固定坐标系r，b相对r的欧拉角为、和，B相对R的角速度为。试推导用欧拉角及其导数表示的角速度在b内的坐标阵。 2. 接上题，设在b或r内的坐标阵已知，试讨论如果欧拉角位于奇点附近时，由求欧拉角对时间导数的计算精度。

rrbrbbrb13 点的速度和加速度

P ˆRzˆRyR ˆRx图13-1 动点P和坐标系R

如图13-1所示，设有参照物R和动点P，在R上有一固定坐标系，亦用R表示，由R原点到P

点引一矢量，则动点P相对参照物R的速度v定义为

RRPd ...................................................................................................... (13-1) dtRP动点P相对参照物R的加速度a定义为

(R)RP(R)2dvdRPa ............................................................................... (13-2)

dtdt2vP(R)

ˆ和ˆ、Y例13-1 车身质心相对大地的速度和加速度。大地上全局坐标系GCS的单位矢量分别为XGGˆ，原点为O。在车身上以车身质心C为原点建立一个车身坐标系cm，其单位矢量分别为xˆc、yˆcZGˆc沿车身纵向指向后方， yˆc指向车身右方， zˆc， xˆc指向车身上方。由O到车身质心即cm的和zGC原点C引一个位置矢量，记为RC，则车身质心C相对大地的速度v为

(G)dRGCCv .................................................................................................... (13-3)

dt若RC在GCS内表示为 ˆyYˆzZˆ ................................................................................... (13-4) RxXCGGG则有

《多体动力学》课程讲稿

ˆyˆzˆ ................................................................................. (13-5) XYZvCxGGGGC这是车身质心速度在GCS内的分量表示。车身质心相对大地的加速度a为

(G)2(G)GCdRCdvGCa .............................................................................. (13-6) 2dtdtG将（13-5）代入有

Gˆˆˆ ................................................................................. (13-7) XYZaCxyzGGG这是车身质心加速度在GCS内的分量表示。

对于车辆的运动，车身质心的速度和加速度习惯于在车身质心坐标系cm内表示

GGˆcvyyˆcvzzˆc ................................................................................ (13-8) vCvxxˆcayyˆcazzˆc .................................................................................. (13-9) aCaxxGc其中vx称为纵向速度，vy称为侧向速度，vz称为垂向速度，ax称为纵向加速度，ay称为侧向加速度，az称为垂向加速度。令从车身质心坐标系cm到全局坐标系GCS的坐标变换矩阵为A，则

车身质心速度和加速度在两个坐标系内坐标阵的关系为

xvxyAGcv .................................................................................................. (13-10) yzvzxaxyAGca .................................................................................................. (13-11) yzaz车身质心速度vx、vy和vz对时间的变化率不是ax、ay和az，但二者之间存在确定的关系，下面推导其关系。令车身相对大地的角速度为GGcmcm，其在车身坐标系内表示为

ˆcqyˆcrzˆc ................................... (13-12) px其中r为横摆角速度，q为俯仰角速度，p为侧倾角速度。由任意变矢量在两个参照物内对时间求导的关系有

GaC(G)dGvCdt(cm)dGvCGcmGCv .................................................... (13-13) dt由（13-8）有上式中第一项为

(cm)dGvCxxˆcvyyˆcvzzˆc ...................................................................... (13-14) vdtˆcyqvyˆczˆc(rvxpvz)yˆc(pvyqvx)zˆc ............. (13-15) r(qvzrvy)xvz而第二项为

ˆcxGcmGCvpvx从而

Gxqvzrvy)xˆc(vyrvxpvz)yˆc(vzpvyqvx)zˆc ...................... (13-16) aC(v这是车身质心加速度在车身坐标系内的表示，从而有vx、vy和vz对时间的变化率与ax、ay及az之间的关系为

xqvzrvyaxvyrvxpvz .................................................................... (13-17) ayvzpvyqvxazv车身的角加速度为

《多体动力学》课程讲稿

dGcm(cm)dGcmxˆcqyˆcrzˆc (13-18) pdtdt为俯仰角加速度，p为侧倾加加速度。 为横摆角加速度，q其中rGcm(G)

习题十三

1. 假设P为一动点，R为一参照物，由R上一个固定点O到动点P所引的矢量为，由R上另外

的一个固定点O1向动点P所引的矢量为1，从O到O1的矢量为。试证明动点P相对参照物

RPR的速度v(R)ddtS(R)d1RP，动点P相对参照物R的加速度adt(R)2. 假设P为一动点，R为一参照物，由R上任一固定点O到动点P所引的矢量为。假设另有一

参照物S，试说明

d22dt(R)d21。 2dtd不是动点P相对S的速度。 dt14 刚体上固定点及动点的速度与加速度

•P1•Rp1P2p2O图14.1-1 刚体上两点P1和P2

14.1 刚体上固定点的速度与加速度

如图14.1-1所示，设P1和P2为刚体B上的两个固定点，O为参照物R上的一个固定点，矢量p1和p2分别为由O到点P1和P2的位置矢量，矢量为由点P1到P2的位置矢量，则点P1和P2相对参照物R的速度v1和v2之间的关系为

RPRP《多体动力学》课程讲稿

RvP2RvP1RB ........................................................................................ （14.1-1）

RBRPRP其中为刚体B相对参照物R的角速度。而点P1和P2相对参照物R的加速度a1和a2之间的关系为

RaP2RaP1RBRB(RB) ..................................................... （14.1-2）

RB其中为刚体B相对参照物R的角加速度。

假如刚体角速度已知，刚体上一点P1的速度已知，则刚体上任意一点P2的速度可求。假如刚体的角速度和角加速度已知，刚体上一点P1的加速度已知，则刚体上任意一点P2的加速度可求。证明：

p2p1 ........................................................................................................................ （14.1-3）

将上式在参照物R内对时间求导有

Rdp2Rdp1Rd ......................................................................................................... （14.1-4） dtdtdtP1由动点速度定义有

RvRvP2dp1 ........................................................................................................................ （14.1-5） dtRdp2 ........................................................................................................................ （14.1-6）

dtR由刚体上矢量在参照物内对时间导数与角速度的关系有

RdRB ................................................................................................................. （14.1-7） dt将以上三式代入（14.1-4）即得（14.1-1）。将（14.1-1）在参照物R内对时间求导即得（14.1-2）。

例14.1-1 刚体瞬时轴的确定。瞬时轴定义为某瞬时存在于刚体上的一条与刚体角速度平行的直线，

该直线上任意一点的速度都相等且沿该直线方向。设刚体相对参照物的角速度为，刚体上一点P1V1V||瞬时轴 VP1rr*rP*r*M图14.1-2 刚体瞬时轴

相对参照物的速度为V1，将V1分解为沿角速度的分量V||和与角速度垂直的分量V，如图14.1-2



所示，过点P1作平面与角速度垂直，则V在该平面内，过P1在该平面内画直线M与V垂直，

则直线M上刚体各点的速度为

《多体动力学》课程讲稿

VV1r ....................................................（14.1-8）

其中r起点为P1且沿直线M方向，从而r定与V同向或反向，图14.1-2中的r与V反向，

*所以只要r的大小适当，一定有一点P，使r与V大小相等方向相反，令相应的r为r*，则

**点P的速度V为

***VV1rV||VrV|| ......（14.1-9） 且r*的大小为

Vr* ...............................................................（14.1-10）

*VV其中，为的大小，为的大小。

*从而刚体上过P与角速度平行的直线即为瞬时轴线，因为这条直线上各点的速度都为V||。

上述方法为寻找瞬时轴的几何法，也可用解析法直接得到r*矢量。刚体上任意一点的速度为 VV1 ...................................................（14.1-11）

其中为由P1到刚体上任意一点的位置矢量，如果存在一点的速度V与平行，则有V0，

即

VV1()0 ....................（14.1-12） 展开上式中的混合积有

2V10 ...............................（14.1-13）

不失一般性，今取位于过P1与垂直的平面内，则有0，从而有

V21 ..........................................................（14.1-14）

*令上式为r，则有

*V1r2 .........................................................（14.1-15）

特别地，当点P1的速度V1与角速度平行，则点P1即为瞬时轴上的一点；又当V10即刚体上点P1相对参照物是固定点，则瞬时轴一定过此固定点。例如定点运动刚体的瞬时轴一定过固定点且沿角速度矢量的方向。

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14.2 刚体上动点的速度与加速度

BRp1•P1•P2p2O图14.2-1 相对刚体B运动的点P2

如图14.2-1所示，设P1为刚体B上的一个固定点，P2为相对刚体B运动的点，O为参照物R

RPRP上的一个固定点，矢量p1和p2分别为由O到点P1和P2的位置矢量，矢量为由点P1到P2的位置矢量，则点P1和P2相对参照物R的速度v1和v2之间的关系为

RvP2RvP2RBBvP2 ............................................................................................... （14.2-1）

RBBPRPRP其中为刚体B相对参照物R的角速度，v2为动点相对刚体B的速度。而点P1和P2相对参照物R的加速度a1和a2之间的关系为

RaP2RaP2RBRB(RB)2RBBvP2BaP2 ....................................... （14.2-2）

RBBP其中为刚体B相对参照物R的角加速度，a2为动点相对刚体B的加速度。证明：

p2p1 ......................................................................................................................... （14.2-3）将上式在参照物R内对时间求导有

Rdp2Rdp1Rd .......................................................................................................... （14.2-4） dtdtdtP1由动点速度定义有

RvRvP2vP2Bdp1 ........................................................................................................................ （14.2-5） dtRdp2 ........................................................................................................................ （14.2-6）

dtBdp2 ........................................................................................................................ （14.2-7）

dtR由空间任意矢量在两参照物内对时间导数的关系有

RdBdRB ..................................................................................................... （14.2-8） dtdt

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将以上四式代入（14.2-4）即得（14.2-1）。将（14.2-1）在参照物R内对时间求导有

RdRvP2RdRvP2RdRBdRdBvP2RBdtdtdtdtdtBBBP2dRBdvRP2RBRBa()(RBBvP2) .......................... （14.2-9）

dtdtRaP2RBRB(BvP2RB)(BaP2RBBvP2)RRaP2RBRB(RB)2RBBvP2BaP2证毕。

习题十四

1. 参见图14.2-1，P2相对参照物R的速度称为绝对速度，P2相对刚体B的速度称为相对速度，刚体上与P2重合的点相对参照物R的速度称为P2在刚体上的牵连速度，试证明绝对速度等于牵连速度与相对速度之和。

2. 在大地上固定一个全局坐标系GCS，其原点为O，从O到某静止刚体BCS原点B的位置矢量

为R，其在GCS内的坐标阵为R。刚体BCS相对GCS的方向余弦矩阵为A。设刚体属于某

个机构，该机构具有一个运动自由度。今给刚体以微小的位置和姿态变化，使刚体到达一个邻将此微小的位置和姿态变化视为在无限小时间内刚体的微小位移和转动，试近似计算出刚体在初始位置下发生上述运动时的瞬时轴的位置和方向。

近的平衡位置，以致R在GCS内的坐标阵变为R1，BCS相对GCS的方向余弦矩阵变为A1。

15 刚体的动力学方程

15.1 并矢

设有两个矢量a和b，今将其并列放在一起，成为ab，称这个量为一个并矢，规定用双箭头符

号“”表示并矢，则可用符号Q表示ab，即

Qab .................................................................（15.1-1）

规定并矢Q与任一矢量c点乘的规则为：

Qca(bc) .....................................................（15.1-2） cQ(ca)b .....................................................（15.1-3）

即Q在后面与矢量c点乘时，用后面的矢量即b与矢量c点乘，得到数量bc后再与前面的矢量a相乘；Q在前面与矢量c点乘时，用前面的矢量即a与矢量c点乘，得到数量ca后再与后面的矢量b相乘。这就是并矢与矢量点乘的规则。并矢与矢量点乘的结果为矢量。规定并矢Q与任一矢量c叉乘的规则为：

Qca(bc) ..................................................（15.1-4） cQ(ca)b ..................................................（15.1-5）

即Q在后面与矢量c叉乘时，用后面的矢量即b与矢量c叉乘，得到矢量bc后再与前面的矢量a40

《多体动力学》课程讲稿

并列放在一起组成一个新的并矢；Q在前面与矢量c叉乘时，用前面的矢量即a与矢量c叉乘，得到矢量ca后再与后面的矢量b并列放在一起组成一个新的并矢。并矢与矢量叉乘的结果为并矢。

两个矢量表达式并在一起组成的一个并矢，只要不改变各矢量原有的先后顺序，可按普通的代数运算规则将其化为多个并矢的代数和[5]，例如

(iajb)(mcnd)imacinadjmbcjnbd ..................... （15.1-6）

其中i、j、m、n为系数。

在某坐标系r内矢量a和b可表示为

rrrˆrayˆrazˆr............................................................................ （15.1-7） aaxxyzrrˆrbyˆrbzrzˆr ............................................................................ （15.1-8） bbxxy代入（15.1-1）有

rrrrrˆrayˆrazˆrbyˆrbzrzˆr)(bxˆr) ........................... （15.1-9） Qab(axxyzxy按（16.1-6）的运算规则可将其化为九个并矢的和

rrrrrrˆrxˆraxˆryˆraxˆrzˆrQaxbxxbyxbzxrrrrrrˆrxˆrayˆryˆrayˆrzˆr ................................................ （15.1-10） aybxybyybzyrˆrazrbyˆrazrbzrzˆrxˆryˆrzˆr azrbxrzz按矩阵相乘规则将其写为

ˆrQx这里矩阵

ˆryrraxbxrrˆrayzbxazrbxrrraxbyrraybyrraxbyrraybyrazrbyrrˆraxbzxrrˆr ................................... （15.1-11） aybzyrrˆrazbzzrraxbzrraybz ............................ （15.1-12） razrbyazrbzr称为并矢Q在坐标系r内的坐标阵。由于a和b在r内的坐标阵分别为 raxrraay ........................................................... （15.1-13） azrrraxbxrrrQaybxazrbxrbxrrrbby ........................................................... （15.1-14） bzr则又有

rraxbzrrrraybza(b)T ......... （15.1-15）

razrbyazrbzrss类似上面的推导，若矢量a和b在s坐标系内的坐标阵分别为a和b，则有并矢Q在坐标系s内的rraxbxrrrQaybxazrbxrrraxbyrrayby坐标阵为

..................................................... （15.1-16） Qa(b)T

令A为从坐标系s到r的坐标变换矩阵，则

sssaAa ......................................................... （15.1-17）

rrss《多体动力学》课程讲稿

bAb ...........................................................（15.1-18）

从而

rrssQa(b)TAa(Ab)TAa(b)TAAQA ...................... （15.1-19）

即并矢Q在两个坐标系的坐标阵具有上述变换关系。以上给出一个简单并矢的例子，说明了它的定义，与矢量点乘及叉乘的规则，及在某坐标系内的坐标阵。上式中的坐标阵为由一个列向量和一个行向量相乘得到的33矩阵，如果是一个任意的33矩阵，则对应一般并矢。下面借助r坐标系给出一般并矢的定义。一般并矢定义为

rrrrssrssrssssrrsssrˆrHxˆryh11ˆrh21zh31h12h22h32ˆrh13xyˆr ........................... （15.1-20） h23ˆrh33z其中坐标阵

h11Hh21h31h12h22h32h13h23 .........................................（15.1-21） h33为并矢H在坐标系r内的坐标阵，为任意33矩阵。当其为单位阵E时，称为单位并矢，并记为

ˆr100xˆrzˆr ..................................... （15.1-22） ˆr010yyˆr001z单位并矢与任意矢量c点乘都等于矢量c本身，即

EccEc ...................................................（15.1-23）一般并矢H在两个坐标系r和s内坐标阵间关系为 rrsssrHAHA ........................................................................................................ （15.1-24） ˆrEx证明：一般并矢H利用r坐标系的单位矢量可以表示为

ˆrHxˆryˆrxˆr ˆrHryz.................................................. （15.1-25） ˆrzˆsxˆs ˆsHsyz.................................................. （15.1-26） ˆsz利用s坐标系的单位矢量可以表示为

ˆsHxˆsy而两个坐标系的单位矢量间关系为

ˆsˆrxxyˆsAsryˆr ..................................................................... （15.1-27） ˆsˆrzz从而有

ˆsxˆsyˆrˆsxzˆryˆrArs ........................................ （15.1-28） z以上两式代入式（15.1-26）中有

《多体动力学》课程讲稿

ˆrHxˆryˆrxˆr ...................................... ˆrArsHsAsryz（15.1-29） ˆrzs与式（15.1-25）比较即有式（15.1-24）成立。

一个单位并矢在任意坐标系内的坐标阵都是单位阵，只需将上式中H换为单位阵E便知

HAEA，而AEAAAE。

并矢也称为二阶张量，在不涉及高阶张量情况下并矢也简称为张量。

表15.1-1给出了并矢计算与同一坐标系内坐标阵计算表达式的对应关系。

rrssrrssrrssr表15.1-1 并矢计算与矩阵计算对比

并矢计算表达式 bHa caH QHa SaH daHb 坐标阵计算表达式 bHa caH ~ QHa~H Sa~Hb daT

15.2 刚体惯性力向质心简化的主矢和主矩

B ˆczCˆZGˆYGOˆXGRCˆcyˆcxRiiaimiai图15.2-1 大地和刚体如图15.2-1所示，设刚体B相对大地运动，质心C相对大地的加速度为ac，刚体B相对大地的角速度和角加速度分别为和，则刚体上惯性力向质心C简化的主矢R和主矩T分别为

**R*mac .......................................................... （15.2-1） *I ..................................... （15.2-2） TI

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其中m为刚体B的质量，I为一个并矢

Imi(iiEii) ..............................（15.2-3）

称为刚体B相对质心C的惯量张量，其中mi为刚体的任一个微质量，i为从质心到该微质量的矢量，E为单位并矢。

证明：在大地上任取一固定点O，以O为原点在大地上固连全局坐标系GCS，其三个单位矢量分别

ˆ、Yˆ和Zˆ。在刚体上取任一微质量mi，设从质心C到mi的位置矢量为i，从O到mi的位为XGGG置矢量为Ri。设从O到刚体质心C的位置矢量为RC，则有 RiRCi .......................................................（15.2-4）

为简化符号，这里用“”表示在大地内将某矢量对时间求一阶导数，“”表示求二阶导数，则由

上式有

RiRCi ................................................（15.2-5） RiRC(i) .....................（15.2-6） i令ai表示微质量的加速度，质心C相对大地的加速度为ac，则

aiaci(i) .......................（15.2-7）

微质量mi的惯性力为miai，将刚体上的全部微质量的惯性力求和即得刚体惯性力的主矢，即 *R(miai) ..................................................................................................... （15.2-8）

将（15.2-7）代入有根据质心的定义有

*R{mi[ac} ........................................................ （15.2-9） i(i)]iim从而

0 .............................................................................................................. （15.2-10）

*m............................ （15.2-11） Rmiac(m)maiiiic

下面求刚体惯性力对质心的主矩。按定义，主矩是各微质量惯性力对质心力矩的和，即将（15.2-7）代入有

*Ti(miai) ............................................................................................. （15.2-12） *（15.2-13） Tmii[aci(i)] .................................................

考虑

*m0有 Tm[()] ............................................ （15.2-14） m()m[()]iiiiiiiiiiii根据三矢量两重叉积公式，上式第一项可展开为

mii(i)mi(iiii) ...........................................................................（15.2-15） mi(iiEii)I根据三矢量两重叉积公式，（15.2-14）式第二项可展开为

mii[(i)]mi{[i(i)]i(i)} .............. （15.2-16）

由于矢量i与i垂直，则上式成为

《多体动力学》课程讲稿

mii[(i)]mi{i(i)}mi(i)imiii(miii)下面说明上式与I相等： I ................................ （15.2-18） mi(iiEii)mi(iiE)(miii)由于E，所以E0，从而

........................................................................................ （15.2-17）

mii[(i)]miiiI .................... （15.2-19）

将（15.2-15）和（15.2-19）代入（15.2-14）即得（15.2-2）式。

ˆc、yˆc和zˆc，如若以刚体质心为原点建立一个固定于刚体上的坐标系cm，其单位矢量分别为x图15.2-1所示，则可得到惯量张量在该坐标系内的坐标阵。设i在cm内表示为

ˆcyiyˆczizˆc ................................................................................... （15.2-20） ixix则刚体B相对质心C的惯量张量I在cm内的坐标阵为

IxxIxyIxzIIyxIyyIyz ......................................... （15.2-21）

IzxIzyIzz这是一个对称矩阵，其中各元素为

Ixxmi(yi2zi2) ........................................ （15.2-22） Iyymi(xi2zi2) ........................................ （15.2-23） Izzmi(xi2yi2) ........................................ （15.2-24） IxyIyxmixiyi .................................... （15.2-25） IxzIzxmixizi ..................................... （15.2-26） IyzIzymiyizi ..................................... （15.2-27）

15.3 达朗贝尔原理和动力学方程

CC**

矢为F，主矩为M，刚体惯性力向质心简化的主矢为R，主矩为T，则刚体的达朗贝尔原理

为[3]

对于相对大地作空间任意运动的刚体B，参见图15.2-1，设作用于B上的外力向质心简化的主

*CRF0 ...................................................... （15.3-1） *CTM0 ..................................................... （15.3-2）

这两个方程与刚体的静平衡方程形式相同，但它们是刚体的动力学方程。故只要把惯性力施加于运动的刚体上，列出的平衡方程就是刚体的动力学方程，这种列写方法称为动静法。每个刚体都这样处于“平衡”，则整个多体系统或系统的任一部分也处于这种“平衡”状态，因而可对任一“平衡”的部分应用动静法列写其动力学方程。

《多体动力学》课程讲稿

这种列写动力学方程的动静法属于矢量力学方法，而按虚功原理或虚功率原理列写动力学方程的方法属于分析力学方法。

习题十五

1. 试利用由两个矢量并列得到的并矢即简单并矢来验证表15.1-1的矩阵表达式。

2. 已知一刚体质量为m，对质心的惯量张量为IC，刚体上一固定点为O，从O到C的位置矢量

为，从O点到刚体上任一微质量mi的位置矢量为ri，定义刚体对O点的惯量张量为IOmi(ririEriri)，试确定IO与IC的关系。

3. 设刚体对其质心的惯量张量在刚体质心坐标系cm内的坐标阵为I，刚体相对大地的角速度及

在GCS内的坐标阵分别为和，从cm到固定于大地上的全局坐标系GCS的坐角加速度标变换矩阵为A，试求刚体对质心惯性力主矩在GCS内的坐标阵。

4. 将水平路面上的四轮车辆简化为摩托车模型，可视为一作平面运动的刚体，试利用动静法列写

其动力学方程。

GC16 约束方程

机构模型中的约束，如球铰及旋转铰等，是物体间实际连接方式抽象后的力学模型。约束方程是约束对所连物体间位置和姿态的限制方程。

为建立约束力，需要设置约束的两个坐标系，即I坐标系和J坐标系，如图16-1所示，其中J

J marker

Part B ˆjyˆjxJ jˆjzhˆyiI marker ˆixˆbyI ˆbxˆYGˆZGOrBB ˆbzˆiziˆayPart A A ˆXGrAˆazˆaxjj图16-1 约束的两个坐标系在各自物体上的位置和姿态 ˆ和zˆ、yˆ，原坐标系固定于物体B上，I坐标系固定于物体A上，J坐标系的单位矢量分别为xjˆ和zˆˆ、yˆ、yˆ，原点为I，物体B的BCS单位矢量分别为x点为J，I坐标系的单位矢量分别为xbaaiiibbˆ和zˆ、yˆ，原点为B，物体A的BCS的单位矢量分别为xˆ，原点为A，GCS的单位矢量分和zaˆ、Yˆ和Zˆ，原点为O，由O到B的位置矢量用rB表示，由O到A的位置矢量用rA表示，别为XGGG46

《多体动力学》课程讲稿

由B到J的位置矢量用j表示，由A到I的位置矢量用i表示，由J到I的位置矢量用h表示，

则

hrAi(rBj)（16-1）

以J坐标系为参考坐标系，位置约束方程为对h的限制方程，姿态约

束方程为对I标记单位矢量的限制方程。下面列举三个常用的约束，分析其相对运动并列出其约束方程。

例16-1 滑移铰。滑移铰只允许两个物体间有一个方向的相对移动，如图16-2所示。为列写其约束方程，在物体B上固定一个J坐标系，

ˆj沿滑移轴线方向，其他两个单其原点位于滑移轴线上，其单位矢量z位矢量的方向可视方便而定；在物体A上固定一个I坐标系，初始时矢量，则有滑移铰的五个约束方程为

与J坐标系完全重合。令h表示由J坐标系原点到I坐标系原点的位置

ˆj0（16-2） hxˆj0（16-3） hyˆj0（16-4） ˆixz图16-2 滑移铰 ˆj0（16-5） ˆiyzˆiyˆj0（16-6） x由于上述方程中的矢量都与约束所连物体的位置和姿态坐标有关，因此它们是对两个物体位置和姿态的约束。将上述约束方程在大地内对

时间求导，就可得到对两个物体的速度约束方程和加速度约束方程。

例16-2 旋转铰。旋转铰只允许两个物体间有一个方向的相对转动，如图16-3所示。其J坐标系固于物体B上，原点位于旋转

ˆj沿旋转轴线方向，其轴线上，单位矢量z他两个单位矢量的方向可视方便而定；I 坐

标系固于物体A上，初始时与J坐标系完

全重合。令h表示由J坐标系原点到I坐标

系原点的位置矢量，则有旋转铰的五个约束方程为

ˆj0（16-7） hxˆj0（16-8） hyˆj0 （16-9） hzˆj0（16-10） ˆixz 图16-3 旋转铰 ˆj0（16-11） ˆiyz

例16-3 球铰。球铰使两个物体有一点永远重合，这样两个物体间只能有三个方向的相对转动运动。如图16-4所示，其J坐标系固定于物体B上，原点位于两个物体的共同点上，三个单位矢量的指向视方便而定；其I坐标系固定于物体A上，原点与J坐标系的永远重合，初始时其姿态与J坐标系完全一致。球铰的三个约束方程为

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ˆj0（16-12） hxˆj0（16-13） hyˆj0（16-14） hz

习题十六

1. 假设空间有一质量块，与地面之间连有弹簧，要求保证其相对地面只有铅直方向的振动，而没有其它方向的移动和任何方向的转动，试说明需施加何种约束并写出相应的约束方程。

图16-4 球铰 2. 假设只研究汽车在水平路面上的位置和姿态，作为

空间模型，试说明如何在车身与地面间施加约束，

以使车身相对地面没有铅直方向的运动、俯仰及侧倾运动。

3. 门与墙间一般有两个合页，试通过约束方程说明当在门与墙间设置两个旋转铰时，其对门的位

置和姿态限制是重复的。

参考文献

[1] [美]T.R.凯恩，D.A.列文松著，《动力学：理论与应用》，贾书惠，薛克宗译，清华大学出版社，1988年11月第1版 [2] 洪嘉振著，《计算多体系统动力学》，高等教育出版社，1999年7月第1版 [3] J. 维腾伯格，《多刚体系统动力学》，谢传锋译，北京航空学院出版社，1986 [4] Ahmed A Shabana, Computational Dynamics, John Wiley & Sons, 2001 [5] 黄克智，薛明德，陆明万编著，《张量分析》，清华大学出版社，2003年7月第二版

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