高二数学暑假学习材料05

一、本讲进度

第六章 不等式

6.1 不等式

6.2 不等式的性质

二、主要内容

1．熟练掌握实数比较大小的依据：

2．能利用上述比较大小的依据，将比较大小的问题转化为研究二数(或式)的差的符号问题．

3．能系统地掌握不等式的性质，熟悉性质定理的证明方法．

4．通过定理的证明的学习和性质的运用，培养逻辑推理论证的能力．

三、学习指导

1．研究现实世界中的量之间的关系，主要有相等和不相等两种关系，相等是局部的，相对的，不等是普遍的，绝对的。因此，在初中及高一已接触到的不等式概念的基础上，有必要对这一部分知识进行归纳、小结、完善。就数学领域来说，不等式与方程、函数、三角等有着密切的联系，如讨论方程解的情况、研究函数的单调性、值域等性质。由此可见，不等式在中学数学的重要地位，是进一步学习数学的基础知识。

依照不同的分类标准可对不等式作不同的分类，如按照不等式对其字母成立范围，分为绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式；按照含示知数项的特点，分为超越不等式、代数不等式，代数不等式又可分为无理不等式、有理不等式，有理不等式又可分为整式不等式、分式不等式等等。

对于条件不等式，主要研究不等式成立的条件，就是所谓“解不等式”，对于绝对值不等式，主要证明不等式对于式子字母的一切允许值一定成立，就是所谓的“证明不等式”，这两个内容是本章的重点，在后面会专门研究它们。

不管是证明不等式还是解不等式，都要有一些工具，这个主要工具是不等式的性质，因此，掌握好不等式的性质是学好本章的关键。

2．不等式的性质包含一个公理、三个基本性质及三个运算性质，还有一些推论：

（1）一个公理：a  b  a-b  0

 1

这个公理给出了实数的大小次序与实数的运算之间的对应关系，是两个实数大小比较的依据。根据这个公理，得到比较两个数（或式）大小的一种重要方法——比较法。 （2）三个基本性质： ① a>bb② a>b，b>ca>c ③ a>ba+c>b+c

在传递性中，称a>b，b>ca>c，从左向右是缩小；称a（3）三个运算性质：

① a>ba+c>b+c，推论：a>b，c>da+c>b+d；a>b，cb-d

② a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0acab0cd0ac>bd

特例：a>b>0an>bn n∈N，n>1 （ii）

abab00cdcd

1b特例：a>b，ab>0③ a>b>0n1ab

an n>1，n∈N

运算性质主要反映两个以上不等式之间的加、减、乘、除的关系，根据逆运算的性质，减、除可分别化归为加、乘。注重转化思想。

对于乘方性质，可推广为：a>b>0，n为正有理数，则an>bn。 对于倒数性质，可归纳为“同号倒数反向”。可结合反比例函数y=+∞）上的音调性理解。

3．掌握不等式的性质，主要注意不等式成立的前提条件（如R或R+）。不等号方向是否改变及不等号方向之间的关系、条件与结论是“”还是“”。

不等式性质的表达形式是以单个字母a、b等出现的，实际上a、b既可以是数，也可以是式，应学会用整体思想解题。

4．若不等式中不等号是非严格不等号“≥”“≤”，则应注意等号成立的条件是否满足。

在运用运算性质求量的取值范围时，若每一个不等式中都含有变量，则应减少运用运算性质的次数，否则最后结果可能不准确。

可用列表类比的办法比较等式与不等式的性质。

1x在（-∞，0），（0，

四、典型例题

2

【例1】 若a>b>0，c解题思路分析：

e(ac)2e(bd)2。

比较不等式两边结构特点，应从a-c与b-d的大小比较着手。在利用“同向相加”的运算性质时，要对cb>0进行相加。

∵ c-d>0

∴ a-c>b-d>0 （同向相加） ∴ (a-c)2>(b-d)2 （乘方性质） ∴

1(bd)21(ac)20 （倒数性质）

∵ e<0 ∴

e(bd)2e(ac)2

2 【例2】 已知α，β∈(,)，求α+β，α-β，

解题思路分析：

的取值范围。

α+β的范围用不等式同向相加的性质，利用转化思想，α-β的范围也用不等式同向相加的性质，

∵

2利用“正数同向相乘”的运算性质。 ，

2

∴ 2 ∵

2

2∴ ∴ ∵ ∴ ∴

1212

22()1122，22

2

2

【例3】 设f(x)=ax2+bx（a≠0），若1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(2)取值范围。 解题思路分析：

因f(-1)，f(1)的范围已知，故考虑用f(-1)、f(1)表示f(2)。具体途径如下：

3

途径一：因f(-1)、f(1)、f(2)都与a、b有关，参数a、b作为中间变量，起桥梁和过渡作用。先用f(1)、f(-1)表示a、b，再将a、b表达式代入f(2)即可。

1a[f(1)f(2)]f(1)ab2由得

1f(1)abb[f(1)f(1)]2∴ f(2)=4a+2b=3f(1)+f(-1)

∵ 6≤3f(1)≤12，1≤f(-1)≤2 ∴ 7≤f(2)≤14

途径二：因f(-1)=a-b、f(1)=a+b、f(2)=4a+2b、f(-1)、f(1)、f(2)都是关于a、b的一次表达式，故一定可以用f(-1)、f(1)的线性组合表示f(2)。在这个理论指导下，用待定系数法求解。

设f(2)=αf(1)+βf(-1) ，α、β∈R ∴ 4a+2b=(α+β)a+(α-β)b 由恒等式的知识： ∴42

31

∴ f(2)=3f(1)+f(-1)

与途径一的结论完全相同。但少了求参数消参数的过程，途径二显得简洁。 注：本题有一种典型的错误解法，就是考虑求出a、b的范围。 ∵ 1f(1)22f(1)2

∴ 1ab22ab43a32∴ 0b32

∴ 64a1202b3

∴ f≤f(2)=4a+2b≤15

首先看结果，此正确方法得出的结果范围大。其次，从特殊情形着手检验一下：当4a+2b=6时，由推导过程知，a=

32，b=0，但显然不满足原始条件：a-b≥1，a+b≥2。那么

原因何在呢？从运算角度看，是对含变量的不等式多次运用了运算性质，造成了式的范围扩大，如此处等号不能取到。从结果看，由f(-1)、f(1)的范围求出a、b范围，这两者不是充分必要的关系，是充分不必要的关系。所以前面“学习指导”中强调了在求含变量式子的取值范围时，尽量少用不等式的运算性质。 【例4】 已知012，A=1-a，B=1+a，C=

4

22

11a，D=

11a，试比较A、B、C、D的大

小。

解题思路分析：

根据a的条件及A、B、C、D表达式特征，首先寻找一个中间变量，以中间变量为标准进行分组，减少比差法的工作量。

∵ 012

∴ 0<1-a<1，1+a>1

∴ C>1，B>1，0其次分别比较B与C及A与D的大小 ∵ B-C=1+a-2

11a2(1a)(1a)11a2

3]4

 (a12a(aa1)34a[(a11a)221a)234≥>0恒成立

1-a>0，-a<0 ∴ B-C<0，B11a2(1a)(1a)11a2

5)(a12125  0a(a12a1)5a(a1212551a121a0，a

0，a

∴ A-D>0，A>D ∴ C>B>A>D

注：因A、B、C、D均为正实数，C、D均为分式形式，也可采用“B【例5】 已知x、y、a、b均为正实数，x+y=1，比较axby与xayb的大小。

解题思路分析：

直接用比差法不能进行变形化简，注意到：当x、y、a、b均为正实数时，axby及

xaybBC<1”“A>DAD>1”

也都为正实数。可利用不等式性质：a>b>0a2>b2，化无理问题为有理问题，

2从而便于变形，进一步地，可判断符号。

(axby)(xayb)2axby(xayb2xy22ab)ax(1x)by(1y)2xyaxybyx2xyxy(ab2ab)xy(ab)2abab

≥0

5

从而(axby)2≥(xayb)2 ∴ axby ≥xayb

当且仅当a=b时等号成立

注：在比较两数（式）大小时，若存在相等情形，则应交代等号成立条件。

巩固练习

（一）选择题

1．若aA．

1ab1a B．

1a1b C．|a|>|b| D．a2>b2

2．下列推导中，错误的是

cA．c-ab B．ababc0ab0C．cd0adbcnc

D．

anb(nN,n2)

abaybx3．若a>b，x>y，则下列不等式中正确的是 A．a-x>b-y B．ax D．x-b>y-a

4．若a、b是任意实数，a>b，则下列不等式正确的是 A．A2>b2 B．

1a1b1 C．lg(a-b)>0 D．()()22ab

5．若a、b∈R，则下列命题为真命题的是

A．若|a|>b，则a2>b2 B．若aa2 C．若a>|b|，则a2>b2 D．若a>b，则()()b

221a16．x>2是

x2<1的

A．充分且必要条件 B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 7．a、b∈R，则

1a1b成立的一个充分非必要条件是

A．b0 D．a>b 8．已知a、b、c∈R，那么下列命题为真命题的是 A．a>bac>bc B．

a2

2

acbcab

322bab1111 D． C．ababab0ab09．若a、b∈R，且a≠b，在①a2+3ab>2b2；②a5+b5>a3b2+a2b3；③a2+b2≥2(a-b-1)；④

abba2这四个式子中，恒成立的有

6

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．a、b∈R，当两个不等式a>b和

1a1b同时成立时，a、b必须满足的条件是

A．Ab>0 B．ab<0 C．-b>0>-a D．-a>0>-b （二）填空题

11．已知a+b>0，b<0，则a、b、-a、-b的大小关系是__________________。

12．1xy30xy2是0x11y2成立的____________条件。（用充分非必要、必要非充

分、充分且必要、既不充分又不必要填）

13．已知a>b>0，ceacab______

ebd。（用不等号填空）

x3x4（x≥-2），则P___Q。（用不等号填空） cd15．已知a、b、c、d均为正实数，且，则

acbd______

cd。（用不等号填空）

（三）解答题

222222

16．已知a>b>c，比较ab+bc+ca与ab+bc+ca的大小。

17．已知A=log1999200020001111222211，B=log1999200020002222333311，试比较A与B的大小。

18．已知-319．已知f(x)=ax2-c，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。

20．某商厦出售A型多功能电子琴和B型洗衣机，商厦根据实际情况和市场需求，得到如下数据： 电子琴资金 洗衣机资金 月资金供应量 资金（百元） 单 位 进 价 30 20 3000 单位工资支出 5 10 1100 单 位 利 润 6 8 问应如何确定两种货物的月供应量，可以使得总利润达到最大？最大利润是多少？

参考答案

（一）选择题

7

1．A。 用筛选法，B、C、D均成立；或1ab1a1ab1aa(ab)a(ab)ba(ab)=

ba1ab0，

。

1a1b2．B。 用筛选法，A、B、D均对；或B，c>0，因a、b不同号，故不能保证

a>b。

3．D。 a>b-b>-a，x+(-b)>y+(-a)，x-b>y-a

4．D。 利用指数函数单调性，函数y=()x在（-∞，+∞）上是减函数，a>b时()a()b。

2221115．C。∵|b|≥0，∴a>|b|≥0，∴a>|b|，a>b 6．B。

2x1a12xx1a1b0x(x2)0x22222

，或x<0。“x>2”是“x>2，或x<0”

的充分非必要条件。

7．A。

1b0baab01aabab1b01a1a。C是不等式成立的充要条件，B、D

1b1b既不是充分条件又不是必要条件，由A3

3

，但还可推出b>0>a。 。

8．C。 a>ba>b，又ab<0，∴a>0，b<0，∴9．A。 ①a23ab2b2(a32b)21742b2，不能判定正或负；

②a5b5ah3b2a2b3a3(ah2b2)b3(a2b2)

(a2b)(a23b)(ab)(ab)(a232abb)2

2b(a-b)2>0，a2+ab+b2=(a+)2(ab)(ab)[(ab)23434b]b22

20，但a+b的符号不能判断，δ的符号不能判

断；

22222222

③δ=a+b-2(a-b-1)=a+b-2a+2b+2=(a-1)+(b+1)≥0，a+b≥2(a-b-1)； ④当a·b<0时，不等式不成立。

10．C。

1a1b1a1b0baab0abab0，∵a>b，a-b>0，∴ab<0，∴a>0>b，

∴-a<0<-b。

（二）填空题

11． A>-b>b>-a 。如图画出函数轴：

12． 必要不充分条件 。当取x=

12，y=2时，充分性不成立。

1bd1ac213． > 。∵-c>-d>0，a>b>0，∴a-c>b-d>0，∴14． < 。P2-Q2=(x2(2x72x

20，∵e<0，∴

eac2ebd。

x5)22(x3x4)(2x72x2

2

7x10)

7x12)2(x7x108

x2P0，P15． < 。由

accd得ad（三）解答题

222222

16．解：δ=ab+bc+ca-(ab+bc+ca) =ab(a-b)-c(a2-b2)+c2(a-b)

2

=(a-b)[c-c(a+b)+ab] =(a-b)(c-a)(c-b) ∵ a>b>c

∴ a-b>0，c-a<0，c-b<0 ∴ δ>0

∴ a2b+b2c+c2a>ab2+bc2ca2 注：（1）作差后在分组时，凡差式均可作为一组，如a2b-ab2，a2b-bc2等，一旦第一组确定，后面的分组应向第一组中公因式靠拢，如本题，当第一组出现a-b后，后面的两组也应考虑出现公因式a-b；

2

（2）对c-c(a+b)+ab的分解，强调主元思想，即将本式三个字母a、b、c中的c作为主元，此式为关于c的二次三项式，再因式分解或配方，思路就清晰了。在处理轮换对称式时，应重视主元思想。

17．解：令x=2000

1111

，则A=log1999x1x2x1x11321，B=log1999xx2311

因A、B同底，下比较作差：∴

x1x2与

x4xx23的大小即可。

1x341x1x2123xx2311xx(x22x11)(x1)x(x1)(x221)(x31)>0

xx1110

∵ log1999x在（0，+∞）上是增函数 ∴ log1999x1x21logx19992311

x∴ A>B。

18．解：∵ -3∴ 0<-z(y-x)<16 ∴ 0（2）不等式“-39

的一种简写形式。根据不等号的个数，对应着若干个独立的不等式。如本题独立不等式有三个：-319．解：∵ f(1)acf(2)4ac

1a[f(2)f(1)]3∴ 

1c[f(2)4f(1)]3∴ f(3)9ac9[f(2)f(1)]3113[f(2)4f(1)]83f(2)53f(1)

∵ -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5 ∴

53≤53f(1)≤

203，83≤f(2)≤

38403

∴ -1≤f(3)≤20

20．解：设电子琴的月供应量为x架，洗衣机月供应量为y台，则由已知得： 30x20y30005x10y1100

设利润为S，则S=6x+8y

下将6x+8y表示为30x+30y，5x+10y的线性组合即可，方法见前面例题。 S=

110(30x20y)35(5x10y)

≤300+660=960 当且仅当30x20y30005x10y1100，x40y90时，S取得最大值，最大值为960。

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