相似动点专题讲解

精典例题

例1.已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ＝k，是否存在这样的实数k，使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

DA

反馈练习

PBQC问题二图 1、如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AB=4，CD=6，BD=14，P为BD上一点，试问BP为何值时，以A、B、P为顶点的三角形与以P、C、D为顶点的三角形相似。

CABPD

2．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

2

（2）设△BPQ的面积为S（cm），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

1

3．已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB90，点A,C的坐标分别为

A(3,0),C(1,0)，B(1,3)．

⑴ 求过点A,B的直线的函数表达式；

⑵ 在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB与ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； ⑶ 在⑵的条件下，如P,Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设APDQm，问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似，如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．

AyBoCx

例2. 已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C、D重合），AE的

垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P．

① 设DE=m(0HG② 在①的条件下，当

FH1时，求BP的长． HG2D F

H E

C

G A

B

P

2

练习．如图，矩形ABCD中，CH⊥BD，垂足为H，P点是AD上的一个动点（P与A、D不重合），CP与BD

交于E点。已知CH＝

60，DH∶CD＝5∶13，设AP＝x，四边形ABEP的面积为y.（1）求BD的长； 13APDHE（2）用含x的代数式表示y。

练习

一、填空题： 1、已知

BCxyz，且3y2z6，则x____,y______。 3562、在Rt△ABC中，斜边长为c，斜边上的中线长为m，则m:c______。

13、反向延长线段AB至C，使AC＝AB，那么BC：AB＝ 。

24、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则△A′B′C′的周长为 厘米。

A A D C

A D M N

D D F 1 P Q E B C B C A B E C B 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图

5、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠A＝30°，则BD：BC＝ 。 若BC＝6，AB＝10，则BD＝ ，CD＝ 。

6、如图，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝2cm，AB＝3.5cm，且MN∥PQ∥AB，DM＝MP＝PA，则MN＝ ，PQ＝

7、如图，四边形ADEF为菱形，且AB＝14厘米，BC＝12厘米，AC＝10厘米，那BE＝ 厘米。 8、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。

二、选择题：

9、下面四组线段中，不能成比例的是（ ）

3

A、a3,b6,c2,d4 B、a1,bC、a4,b6,c5,d10 D、a2,b10、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ）

A、3:1 B、3:2 C、

11、已知

2,c6,d3 5,c15,d23

13 D、1：3 :22xyz，则下列等式成立的是（ ） 457xy1xyz8xyz7 B、 D、yz3x  C、xy9xyz3z16A、

12、已知直角三角形三边分别为a,ab,a2b，a0,b0，则a:b（ ）

A、1：3 B、1：4 C、2：1 D、3：1

13、△ABC中，AB＝12，BC＝18，CA＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ）

A、27 B、12 C、18 D、20 14、已知a,b,c是△ABC的三条边，对应高分别为ha,hb,hc，且a:b:c4:5:6，那么ha:hb:hc等于（ ）

A、4：5：6 B、6：5：4 C、15：12：10 D、10：12：15

15、一个三角形三边长之比为4：5：6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm，则原三角形最大边长为（ ）

A、44厘米 B、40厘米 C、36厘米 D、24厘米

16、下列判断正确的是（ ）

A、不全等的三角形一定不是相似三角形 B、不相似的三角形一定不是全等三角形 C、相似三角形一定不是全等三角形 D、全等三角形不一定是相似三角形

17、如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，则图中与△ADC相似的三角形共有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、多于3个 A D A

F E

G

B C B C F D

第19题图 第20题图

18、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC＝4：5，AE交BD于F，则BF：FD等于（ ）

A、4：5 B、3：5 C、4：9 D、3：8 三、解答题：

4

19、已知xy:y2:3，求

2x5y的值。

3x2y

20、如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，且AC＝6厘米，AD＝4厘米，求AB与BC的长

C

A B D

21．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

(1) 求证：△ADF∽△DEC

(2) 若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.

5

22、已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点

求证：MD：ME＝ND：NE

N

D C

23. 如图，在△ABC中，BAC90，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EFAB，EGAC，垂足分别为F，G．

M A

E B EGCG（1）求证：； ADCD（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请

说明理由； （3）当ABAC

A F G

时， △FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由．

B

D E

C

6