一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 如图，直线𝑦=2𝑥+3交坐标轴于A，B两点，则△𝐴𝑂𝐵的面积是( )
3
A. 3 B. 6 C. 2 D. 2
2. 如图，已知𝐴𝐷//𝐵𝐶，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边
形的是( )
3
A. 𝐴𝐵//𝐷𝐶 B. 𝐴𝐷=𝐵𝐶 C. 𝐴𝐵=𝐷𝐶 D. ∠𝐵+∠𝐶=180°
3. 下列关系式中，y不是自变量x的函数的是( )
A. 𝑦=𝑥 B. 𝑦=𝑥2 C. 𝑦=|𝑥| D. 𝑦2=𝑥
4. 某射击小组有19人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众
数和中位数分别是( )
A. 7，7 B. 8，7.5 C. 7，8 D. 8，7
∠𝐴的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，5. 在平行四边形ABCD中，则平行四边形ABCD
周长是( )
A. 22 B. 20 C. 22或20 D. 18
6. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶，各顶点在如图所示坐标轴上，且顶
点C的坐标为(2,0).若一次函数𝑦=𝑘𝑥+2的图象经过点A，则k的值为( )
A. 2 B. −2 C. 1 D. −1
7. 如图，正方形ABCD，点E在AD边上，已知𝐷𝐸=5，𝐶𝐸=13，则阴影部分
的面积是( )
1
1
A. 114 B. 124 C. 134 D. 144
8. 已知一组数据2、x、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是( )
A. 3.5 B. 4 C. 2 D. 6.5
9. 如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA−− BO的路径匀速
运动一周．设OP的长为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是 ( )
A.
B.
C.
D.
10. 八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为(单位：环)：4，5，6，6，
6，7，8.则下列说法错误的是( )
A. 该组成绩的众数是6环 C. 该组成绩的平均数是6环
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
B. 该组成绩的中位数是6环 D. 该组成绩数据的方差是10
11. 函数𝑦=√1−𝑥中，自变量x的取值范围为______ ． 12. 将
向右平移1个单位，得到直线的函数解析式为
1𝑏= ．13. 已知一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象如图，则𝑘= ，
14. 如图，反比例函数
的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中
点，，则的值为 。
15. 如图，BD是▱ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF
是平行四边形，还需增加的一个条件是______．
16. 在平面直角坐标系中，四边形MOBC是菱形．若点A的坐标是
(1,√3)，点C的坐标是______．
三、解答题（本大题共10小题，共94.0分） 𝑥+𝑚(𝑥≤𝑚)
17. 已知函数𝑦={，m为常数．
−2𝑥+2𝑚(𝑥>𝑚)
(1)当𝑚=1时，写出这个函数的表达式．并在所给坐标系中画出这个函数的图象．
(2)当点𝑃(3,−3)在这个函数图象上时，求m的值；
(3)已知线段MN的两个端点坐标分别为𝑀(−2,−1)、𝑁(2,−1)，当此函数的图象与线段MN只有一个交点时．直接写出m的取值范围．
18. 在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，点A固定在
格点上，请你画一个顶点都在格点上，且边长为√5的菱形ABCD，你画的菱形面积为______．
19. 如图，在▱ABCD中，60°<∠𝐵<90°，且𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=4，F
为AD的中点，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E，连结EF、CF． (1)求证：∠𝐸𝐹𝐷=3∠𝐴𝐸𝐹；
(2)当BE为何值时，𝐶𝐸2−𝐶𝐹2的值最大？并求此时sinB的值．
20. 脱贫攻坚，让贫困群众更有幸福感，在党和政府的帮扶下，小刚家的网络商店(简称网店)将顾
县豆腐干、莲桥米粉等优质土特产迅速销往全国，小刚家网店中顾县豆腐干和莲桥米粉这两种商品的相关信息如表：
商品 规格 成本(元/袋) 售价(元/袋) 顾县豆腐干 1𝑘𝑔/袋 20 30 莲桥米粉 2𝑘𝑔/袋 19 27 根据上表提供的信息，解答下列问题：
(1)已知今年前五个月，小刚家网店销售上表中规格的顾县豆腐干和莲桥米粉共1500kg，获得利润1.05万元，求这前五个月小刚家网店销售这种规格的顾县豆腐干和莲桥米粉各多少袋； (2)根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小刚家网店还能销售上表中规格的顾县豆腐干和莲桥米粉共1000kg，其中，这种规格的顾县豆腐干的销售量不低于300𝑘𝑔.假设这后五个月，销售这种规格的顾县豆腐干𝑥(𝑘𝑔)，销售这种规格的顾县豆腐干和莲桥米粉获得的总利润为𝑦(元)，求出y与x之间的函数关系式，并求出这后五个月，小刚家网店销售这种规格的顾县豆腐干和莲桥米粉至少获得总利润多少元．
21. 体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并列出頻数分布表．
次数 頻数 2 60≤𝑥<80 4 80≤𝑥<100 21 100≤𝑥<120 120≤𝑥<140 13 8 140≤𝑥<160 4 160≤𝑥<180 (1)全班有多少学生？ (2)组距是多少？组数是多少？
(3)跳绳次数x在120≤𝑥<160范围的学生有多少？
22. 求y关于x的函数关式(写出自量x的值围；
阅读料：
汽车的经济时速是汽车省油行驶速某种汽车每小时7～1公里之间驶时(含70公里110公里)，每公里耗(18+
1
450𝑥2
)升若该汽车时x公里的速速行驶，1小时的耗油量为y升．
2
知𝑥>0，求函=2𝑥+𝑥的最值． 当𝑥=，函数取得最值，最小=4．
若ab都是非负实数，则𝑎≥2√𝑎𝑏.当且仅=𝑏时，“=成立． 举例应：
∴+𝑏≥2√𝑎𝑏.当且仅=𝑏时，“=成立．
求该汽车的经济时速经济时的百公里油量结保留小点后一)．
𝐴𝐵=5𝑐𝑚，在正方形ABCD中，点E在正方形边上沿𝐵→𝐶→𝐷运动(含端点)，连接AE，23. 如图，
以AE为边，在线段右侧作正方形AEFG，连接DF、DG．
小颖根据学习函数的经验，在点E运动过程中，对线段AE、DF、DG的长度之间的关系进行了探究．
下面是小颖的探究过程，请补充完整：
(1)对于点E在BC、CD边上的不同位置，画图、测量，得到了线段AE、DF、DG的长度的几组值，如下表：
𝐴𝐸/𝑐𝑚 𝐷𝐹/𝑐𝑚 𝐷𝐺/𝑐𝑚 位置1 5.00 5.00 0.00 位置2 5.50 3.55 2.30 位置3 6.00 3.72 3.31 位置4 7.07 5.00 5.00 位置5 5.99 3.71 5.28 位置6 5.50 3.55 5.69 位置7 5.00 5.00 7.07 在AE、DF和DG的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数．
(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象：
(3)结合函数图象，解决问题：
当△𝐺𝐷𝐹为等腰三角形时，AE的长约为______．
已知点𝑀(𝑎,𝑏)及两个图形𝑊1和𝑊2，若对于图形𝑊1上任意一点𝑃(𝑥,𝑦)，24. 在平面直角坐标系xOy中，
在图形𝑊2上总存在点𝑃′(𝑥′,𝑦′)，使得点𝑃′是线段PM的中点，则称点𝑃′是点P关于点M的关联点，图形𝑊2是图形𝑊1关于点M的关联图形，此时三个点的坐标满足𝑥′=(1)点𝑃′(−2,2)是点P关于原点O的关联点，则点P的坐标是______； (2)已知，点𝐴(−4,1)，𝐵(−2,1)，𝐶(−2,−1)，𝐷(−4,−1)以及点𝑀(3,0) ①画出正方形ABCD关于点M的关联图形；
②在y轴上是否存在点N，使得正方形ABCD关于点N的关联图形恰好被直线𝑦=−𝑥分成面积相等的两部分？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
𝑥+𝑎2
，𝑦′=
𝑦+𝑏2
．
25. 如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是
线段DF的中点，连接PG，PC．
(1)如图1中，猜想：PG与PC的位置关系是______，数量关系是______；
(2)证明(1)中的两个猜想；
(3)如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证：𝑃𝐺=𝑃𝐶．
26. 如图，在平面直角坐标系中，点𝐴(0,6)，点B是x轴正半轴上的一个动点，连结AB，取AB的
中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段𝐵𝐶.过点B作𝐵𝐷⊥𝑥轴交直线AC于点𝐷.设点B坐标是(𝑡,0)．
(1)当𝑡=4时，求直线AB的解析式； (2)①用含t的代数式表示点C的坐标：______ ②当△𝐴𝐵𝐷是等腰三角形时，求点B坐标．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：𝑦=2𝑥+3，令𝑥=0，则𝑦=3，令𝑦=0，则𝑥=−2， 故𝑂𝐴=2，𝐵𝑂=3，
𝑆△𝐴𝑂𝐵=2𝐴𝑂×𝐵𝑂=2×2×3=3， 故选：A．
利用𝑆△𝐴𝑂𝐵=2𝐴𝑂×𝐵𝑂，即可求解．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，确定OA、OB的长度，用三角形面积公式即可求解．
11
1
3
2.答案：C
解析：解：A、∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴四边形ABCD是平行四边形；故此选项不合题意； B、∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶，
∴变形ABCD是平行四边形；故此选项不合题意； C、∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐷𝐶，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；故此选项符合题意； D、∵∠𝐵+∠𝐶=180°， ∴𝐴𝐵//𝐶𝐷， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴四边形ABCD是平行四边形；故此选项不合题意； 故选：C．
根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行推理判断，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
3.答案：D
解析：解：A、𝑦=𝑥当x取值时，y有唯一的值对应； B、𝑦=𝑥2当x取值时，y有唯一的值对应； C、𝑦=|𝑥|当x取值时，y有唯一的值对应；
D、𝑦2=𝑥当x取值时，y有不唯一的值对应，故D错误， 故选：D．
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
4.答案：A
解析：
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数(或最中间的两个数)即可，本题是最中间的那个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．
解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，7环，故众数是7(环)； 因图中是按从小到大的顺序排列的，第10个数据是7(环)，故中位数是7(环)． 故选A．
5.答案：C
解析：解：在平行四边形ABCD中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，则∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐵． ∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐸𝐴，
∴𝐴𝐵=𝐵𝐸，𝐵𝐶=𝐵𝐸+𝐸𝐶， ①当𝐵𝐸=3，𝐸𝐶=4时，
平行四边形ABCD的周长为：2(𝐴𝐵+𝐴𝐷)=2(3+3+4)=20． ②当𝐵𝐸=4，𝐸𝐶=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2(𝐴𝐵+𝐴𝐷)=2(4+4+3)=22． 故选：C．
根据AE平分∠𝐵𝐴𝐷及𝐴𝐷//𝐵𝐶可得出𝐴𝐵=𝐵𝐸，𝐵𝐶=𝐵𝐸+𝐸𝐶，从而根据AB、AD的长可求出平行四边形的周长．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定；根据题意判断出𝐴𝐵=𝐵𝐸是解答本题的关键．
6.答案：C
解析：解：∵𝐴𝐵=𝐵𝐶， ∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，
∵等腰三角形ABC的顶点B在y轴上，C的坐标为(2,0)， ∴𝐴(−2,0)，
∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+2的图象经过点A， ∴0=−2𝑘+2， 解得𝑘=1， 故选：C．
先根据等腰三角形的性质求出点A的坐标，再把顶点A的坐标代入一次函数𝑦=𝑘𝑥+2，求出k的值即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
7.答案：A
解析：解：∵四边形ABCD是正方形， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐷=𝐶𝐷，∠𝐷=90°，𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴𝐵𝐶=𝐴𝐷=𝐶𝐷=√𝐶𝐸2−𝐷𝐸2=√132−52=12， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐷−𝐷𝐸=12−5=7，
∴阴影部分的面积=2(𝐴𝐸+𝐵𝐶)×𝐴𝐵=2(7+12)×12=114； 故选：A．
由正方形的性质得出𝐵𝐶=𝐴𝐷=𝐶𝐷，∠𝐷=90°，𝐴𝐷//𝐵𝐶，由勾股定理得出𝐵𝐶=𝐴𝐷=𝐶𝐷=12，得出𝐴𝐸=𝐴𝐷−𝐷𝐸=7，由梯形面积公式即可得出答案．
1
1
本题考查了正方形的性质、勾股定理以及梯形面积公式等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．
8.答案：A
解析：解：∵数据2、x、8、5、5、2的众数是2， ∴𝑥=2，
则数据为2、2、2、5、5、8， 所以中位数为故选：A．
先根据众数定义求出x，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数． 本题考查了众数、中位数，解题的关键是理解众数、中位数的概念，并根据概念求出一组数据的众数、中位数．
2+52
=3.5，
9.答案：C
解析：利用图象可得出：当点P在半径AO上运动时，离出发点距离越来越远； 在弧AB上运动时，距离不变； 在OB上运动时，越来越近． 故选：C。
10.答案：D
解析：
此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
解：A、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是6环，故本选项正确； B、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；
C、该组成绩的平均数是：7(4+5+6+6+6+7+8)=6(环)，故本选项正确； D、该组成绩数据的方差是7[(4−6)2+(5−6)2+3×(6−6)2+(7−6)2+(8−6)2]=项错误； 故选D．
1
107
1
，故本选
11.答案：𝑥<1
解析：解：根据题意得：1−𝑥>0， 解可得𝑥<1； 故答案为𝑥<1．
根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不为0；可得关系式1−𝑥>0，解不等式即可．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.答案：𝑦=2𝑥+2
解析：本题主要考查函数的图像平移。 函数图象的平移规律：上加下减，左加右减．
直线𝑦=2𝑥+4=2(𝑥+2)向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为𝑦=2(𝑥+1)=2𝑥+2，即𝑦=2𝑥+2。
13.答案：𝑘=2；𝑏=−2．
解析：把点(1,0)、(0,−2)分别代入一次函数解析式𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)列出方程组，并解此方程组即可．
解：由图示知，该直线经过点(1,0)、(0,−2).则
解得：
故答案是：2；−2．
14.答案：𝑘=12
解析：设𝐸(𝑎,
)，则B纵坐标也为，E是AB中点，所以F点横坐标为2a，代入解析式得到纵
坐标：，𝐵𝐹= − =
，所以F也为中点，𝑆△𝐵𝐸𝐹=3=
，𝑘=12.故答案是：12。
15.答案：𝐵𝐸=𝐷𝐹(答案不唯一)
解析：解：
如图，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴𝐴𝑂=𝐶𝑂，𝐵𝑂=𝐷𝑂，
∴当𝐵𝐸=𝐷𝐹时，可得𝑂𝐸=𝑂𝐹，则四边形AECF为平行四边形， ∴可增加𝐵𝐸=𝐷𝐹，
故答案为：𝐵𝐸=𝐷𝐹(答案不唯一)． 根据平行四边形的判定添加条件即可．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
16.答案：(3,√3)
解析：解：过A、C作𝐴𝐸⊥𝑥轴，𝐶𝐹⊥𝑥轴， ∵点A的坐标是(1,√3)， ∴𝐴𝑂=2，
∵四边形AOBC是菱形，
∴𝐴𝑂=𝐴𝐶=𝐵𝑂=𝐵𝐶=2，𝐴𝑂//𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝐵𝐹，
∵𝐴𝐸⊥𝑥轴，𝐶𝐹⊥𝑥轴， ∴∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐶𝐹𝑂=90°，
∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐶𝐹𝑂
在△𝐴𝑂𝐸和△𝐶𝐵𝐹中{∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐶𝐵𝐹，
𝐴𝑂=𝐵𝐶∴△𝐴𝑂𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐸𝑂=𝐵𝐹=1， ∵𝐵𝑂=2， ∴𝐹𝑂=3，
∴𝐶(3,√3).
故答案为：(3,√3).
C作𝐴𝐸⊥𝑥轴，𝐶𝐹⊥𝑥轴，过A、根据菱形的性质可得𝐴𝑂=𝐴𝐶=𝐵𝑂=𝐵𝐶=2，再证明△𝐴𝑂𝐸≌△𝐶𝐵𝐹，可得𝐸𝑂=𝐵𝐹，然后可得C点坐标．
此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等．
17.答案：解：(1)𝑚=1时．函数表达式为：𝑦={−2𝑥+2(𝑥>1)，
图象如右图所示；
(2)①当𝑚≥3时，则3+𝑚=−3， 解得𝑚=−6(舍去)；
②当𝑚<3时，则−2×3+2𝑚=−3， 解得𝑚=2；
由上可得，m的值为2； (3)把𝑀(−2,−1)代入𝑦={
𝑥+𝑚(𝑥≤𝑚)3
，得𝑚=1或𝑚=2；
−2𝑥+2𝑚(𝑥>𝑚)
3
3
𝑥+1(𝑥≤1)
𝑥+𝑚(𝑥≤𝑚)5
把𝑁(2,−1)代入𝑦={，得𝑚=−3或𝑚=−2；
−2𝑥+2𝑚(𝑥>𝑚)∴函数的图象与线段MN只有一个交点时．−3≤𝑚<−2或1<𝑚≤2．
5
3
解析：(1)把𝑚=1代入即可求得函数的不等式，根据解析式画出函数图象即可； (2)分两种求得讨论求得即可；
(3)把M、N的坐标分别代入函数解析式求得m的值，然后借助图象即可得到结论．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，
分类讨论和数形结合是解题的关键．
18.答案：8
解析：解：如图，菱形ABCD即为所求，𝑆菱形𝐴𝐵𝐶𝐷=2×4=8． 故答案为：8．
根据√5=√12+22画出图形，并求出其面积即可．
本题考查的是作图−应用与设计作图，熟知勾股定理和菱形的性质是解答此题的关键．
19.答案：(1)证明：延长BA、CF交于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝐺=∠𝐷𝐶𝐹， ∵𝐹为AD的中点， ∴𝐴𝐹=𝐷𝐹，
∠𝐺=∠𝐷𝐶𝐹在△𝐴𝐹𝐺和△𝐷𝐹𝐶中，{∠𝐴𝐹𝐺=∠𝐷𝐹𝐶
𝐴𝐹=𝐷𝐹∴△𝐴𝐹𝐺≌△𝐷𝐹𝐶(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐹𝐺=𝐹𝐶， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐺， ∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，
∴△𝐶𝐸𝐺是等腰直角三角形， ∴𝐹𝐸=𝐹𝐺， ∴∠𝐹𝐸𝐺=∠𝐺，
∵𝐴𝐹=2𝐴𝐷=𝐴𝐵=𝐴𝐺， ∴∠𝐶𝐹𝐷=∠𝐴𝐹𝐺=∠𝐺=∠𝐹𝐸𝐺， ∵∠𝐶𝐹𝐸=∠𝐹𝐸𝐺+∠𝐺=2∠𝐹𝐸𝐺， ∴∠𝐸𝐹𝐶=3∠𝐴𝐸𝐹；
(2)解：𝐸𝐺=4−𝑥，设𝐵𝐸=𝑥，则𝐴𝐸=2−𝑥，𝐸𝐶2=𝐵𝐶2−𝐵𝐸2=16−𝑥2，𝐶𝐺2=(4−𝑥)2+16−
1
，
𝑥2=−8𝑥+32，
∴𝐹𝐶2=(𝐶𝐺)2=(−8𝑥+32)=−2𝑥+8，
2
4
1
1
∴𝐶𝐸2−𝐶𝐹2=16−𝑥2−(−2𝑥+8)=−𝑥2+2𝑥+8=−(𝑥−1)2+9， 当𝑥=1，即𝐵𝐸=1时，𝐶𝐸2−𝐶𝐹2有最大值， 此时，𝐶𝐸=√16−𝑋2=√15， ∴𝑠𝑖𝑛𝐵=𝐵𝐶=
𝐶𝐸
√15． 4
解析：(1)延长BA、CF交于点G，证明△𝐴𝐹𝐺≌△𝐷𝐹𝐶得出𝐹𝐺=𝐹𝐶，证出𝐴𝐵=𝐴𝐺，得出△𝐶𝐸𝐺是∠𝐹𝐸𝐺=∠𝐺，等腰直角三角形，得出𝐹𝐸=𝐹𝐺，由𝐴𝐹=2𝐴𝐷=𝐴𝐵=𝐴𝐺，得出∠𝐶𝐹𝐷=∠𝐴𝐹𝐺=∠𝐺=∠𝐹𝐸𝐺，得出∠𝐶𝐹𝐸=∠𝐹𝐸𝐺+∠𝐺=2∠𝐹𝐸𝐺，即可得出结论；
(2)设𝐵𝐸=𝑥，𝐸𝐺=4−𝑥，则𝐴𝐸=2−𝑥，由勾股定理得出𝐸𝐶2=𝐵𝐶2−𝐵𝐸2=16−𝑥2，𝐶𝐺2=(4−𝑥)2+16−𝑥2=−8𝑥+32，得出𝐹𝐶2=(2𝐶𝐺)2=4(−8𝑥+32)=−2𝑥+8，求出𝐶𝐸2−𝐶𝐹2=−𝑥2+2𝑥+8=−(𝑥−1)2+9，由二次函数的性质得出当𝑥=1，即𝐵𝐸=1时，𝐶𝐸2−𝐶𝐹2有最大值，𝐶𝐸=√16−𝑋2=√15，由三角函数定义即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和等腰三角形是解题的关键．
1
1
1
20.答案：解：(1)设前五个月小刚家网店销售这种规格的顾县豆腐干a袋，销售莲桥米粉b袋，根
据题意列方程得：
𝑎+2𝑏=1500
{， (30−20)𝑎+(27−19)𝑏=10500解得：𝑎=750，𝑏=375
∴前五个月小刚家网店销售这种规格的顾县豆腐干750袋，销售莲桥米粉375袋； (2)根据题意得：𝑦=(30−20)𝑥+(27−19)×y随x的增大而增大， ∵𝑥≥300，
∴当𝑥=300时，y取得最小值， 最小值为𝑦=6×300+4000，
∴小刚家网店销售这种规格的顾县豆腐干和莲桥米粉至少获得总利润5800元．
1000−𝑥
2
=6𝑥+4000
解析：(1)设这前五个月小刚家网店销售这种规格的顾县豆腐干a袋．根据获得利润1.05万元，构建方程组即可；
(2)构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系解决问题；
21.答案：解：(1)2+4+21+13+8+4=52(人)；
(2)组距：80−60=20， 组数是6；
(3)跳绳次数x在120≤𝑥<160范围的学生有：13+8=21(人⋅)．
解析：(1)根据频数分布表可得把每个小组的频数加起来就是全班的学生数； (2)组距就是每个小组的最大值和最小值之差；根据表格可直接得到组数为6； (3)跳绳次数x在120≤𝑥<160就是求120≤𝑥<140，140≤𝑥<160两组的频数和．
此题主要考查了频数分布表，在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
22.答案：解：∵汽车在每小时7～10公里间驶时(含70里和1公里)，公里耗油(18+
解得：𝑥=0 根据材料：当18=
𝑥
450𝑥
1450𝑥2)升．
有最小值，
∴该汽车的经速为90千米/小；
当𝑥=0百公里油量为100×(18+810)11.1升．
1
450
解析：根据耗总量=每里的耗×行驶的速度列出数系式即可； 经时就是耗油最小的形式速度．
本题考查了偶次方负数的性及数最值应用解关键是读懂题目提的材料．
23.答案：DG AE DF 7.07或5.00或5.65
解析：解：(1)根据已知条件，观察表格数据可知：
确定DG的长度是自变量，AE的长度和DF的长度都是这个自变量的函数． 故答案为：DG、AE、DF； (2)如图即为函数图象；
(3)观察图象可知：
两个函数图象的交点或5.65即为当△𝐺𝐷𝐹为等腰三角形时，AE的长． 故答案为7.07或5.00或5.65．
(1)根据已知条件结合观察表格数据即可得结论； (2)根据表格数据即可画出函数图象；
(3)两个函数图象的交点即为当△𝐺𝐷𝐹为等腰三角形时，AE的长．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据表格数据准确画出图象．
24.答案：(1)(−4,4)；
(2)①见解析； ②存在；(0,3)
解析：解：(1)∵点𝑃′(−2,2)是点P关于原点O的关联点， ∴点𝑃′是线段PO的中点， ∴点P的坐标是(−4,4)； 故答案为：(−4,4)；
(2)①如图1，连接AM，并取中点𝐴′； 同理，画出𝐵′、𝐶′、𝐷′； ∴正方形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′为所求作．
②如图2，设𝑁(0,𝑛)．
∵正方形ABCD关于点N的关联图形恰好被直线𝑦=−𝑥分成面积相等的两部分，
∴关联图形的中心Q落在直线𝑦=−𝑥上， ∵正方形ABCD的中心为𝐸(−3,0)， ∴𝑄(
−3+00+𝑛2
,
2
)， =−
−3+02
∴代入得：
0+𝑛2
，
解得：𝑛=3．
(1)由点𝑃′(−2,2)是点P关于原点O的关联点，可得点𝑃′是线段PO的中点，继而求得答案； (2)①连接AM，并取中点𝐴′，同理，画出𝐵′、𝐶′、𝐷′；继而求得正方形ABCD关于点M的关联图形； 易得关联图形的中心Q落在直线𝑦=−𝑥上，然后由正方形ABCD的中心为𝐸(−3,0)，②首先设𝑁(0,𝑛)，求得
0+𝑛2
=−
−3+02
，继而求得答案．
此题属于新定义性题目．考查了一次函数的性质以及关于点的对称图形．注意理解关联图形的定义是关键．
25.答案：𝑃𝐺⊥𝑃𝐶 𝑃𝐺=𝑃𝐶
解析：(1)解：猜想：PG与PC的位置关系是𝑃𝐺⊥𝑃𝐶，数量关系是𝑃𝐺=𝑃𝐶， 故答案为：𝑃𝐺⊥𝑃𝐶，𝑃𝐺=𝑃𝐶；
(2)证明：延长GP交DC于点H，如图1所示： ∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴𝐷𝐶=𝐵𝐶，𝐵𝐺=𝐺𝐹，∠𝐹𝐺𝐵=∠𝐺𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐵=90°， ∴𝐶𝐷//𝐺𝐹， ∴∠𝐶𝐷𝑃=∠𝐺𝐹𝑃， ∵𝑃是线段DF的中点，
∴𝐷𝑃=𝐹𝑃，
∠𝐶𝐷𝑃=∠𝐺𝐹𝑃
∵在△𝐷𝐻𝑃和△𝐹𝐺𝑃中，{𝐷𝑃=𝐹𝑃，
∠𝐷𝑃𝐻=∠𝐹𝑃𝐺∴△𝐷𝐻𝑃≌△𝐹𝐺𝑃(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐷𝐻=𝐹𝐺，𝑃𝐻=𝑃𝐺， ∴𝐻𝐶=𝐺𝐶，
∴△𝐻𝐶𝐺是等腰直角三角形，
∵𝑃𝐻=𝑃𝐺
∴𝑃𝐺⊥𝑃𝐶，𝑃𝐺=𝑃𝐶；
(3)证明：延长GP交DC于点H，如图2所示： ∵四边形ABCD和四边形BEFG是矩形， ∴∠𝐹𝐺𝐵=∠𝐺𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐵=90°， ∴𝐶𝐷//𝐺𝐹， ∴∠𝐶𝐷𝑃=∠𝐺𝐹𝑃， ∵𝑃是线段DF的中点， ∴𝐷𝑃=𝐹𝑃，
∠𝐶𝐷𝑃=∠𝐺𝐹𝑃
∵在△𝐷𝐻𝑃和△𝐹𝐺𝑃中，{𝐷𝑃=𝐹𝑃，
∠𝐷𝑃𝐻=∠𝐹𝑃𝐺∴△𝐷𝐻𝑃≌△𝐹𝐺𝑃(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝑃𝐻=𝑃𝐺=𝐻𝐺，
21
∵∠𝐷𝐶𝐵=90°， ∴△𝐻𝐶𝐺是直角三角形， ∴𝐶𝑃=𝐻𝐺，
21
∴𝑃𝐺=𝑃𝐶． (1)由题意猜想即可；
(2)延长GP交DC于点H，由条件可以得出△𝐷𝐻𝑃≌△𝐹𝐺𝑃，就可以得出𝐷𝐻=𝐺𝐹，𝑃𝐻=𝑃𝐺，根据正方形的性质就可以得出𝐻𝐶=𝐺𝐶，从而由等腰直角三角形的性质可以得出结论；
(3)延长GP交DC于点H，由条件可以得出△𝐷𝐻𝑃≌△𝐹𝐺𝑃，根据直角三角形的性质就可以得出𝑃𝐺=𝑃𝐶．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26.答案：(1)当𝑡=4时，点B的坐标为(4,0)．
设直线AB的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)， 将𝐴(0,6)，𝐵(4,0)代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏，得： 𝑏=6𝑘=−2{，解得：{， 4𝑘+𝑏=0𝑏=6∴直线AB的解析式为𝑦=−2𝑥+6． (2)①(𝑡+3,)；
2②分三种情况考虑：
(𝑖)当𝐴𝐷=𝐵𝐷时，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐷，如图2所示．
𝑡
33
∵𝐵𝐷//𝑦轴， ∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐷， ∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐵𝐴𝐷． ∴tan∠𝑂𝐴𝐵=tan∠𝐵𝐴𝐷， ∴𝑂𝐴=𝐵𝐴=2，即6=2， ∴𝑡=3，
∴点B的坐标为(3,0)；
(𝑖𝑖)当𝐴𝐵=𝐴𝐷时，𝐵𝐷=2𝐴𝑂，如图3所示．
𝑂𝐵
𝐵𝐶
1
𝑡
1
设直线AC的解析式为𝑦=𝑚𝑥+𝑛， 将𝐴(0,6)，𝐶(𝑡+3,2)代入𝑦=𝑚𝑥+𝑛，得： 𝑛=6
{(𝑡+3)𝑚+𝑛=𝑡，
2𝑡
𝑚=2𝑡+6
解得：{，
𝑛=6
∴直线AC的解析式为𝑦=2𝑡+6𝑥+6． 当𝑥=𝑡时，𝑦=
𝑡2−12𝑡2𝑡+6
𝑡−12
𝑡−12
+6=)，
𝑡2+362𝑡+6
．
∴点D的坐标为(𝑡,∴𝐵𝐷=
𝑡2+362𝑡+6
𝑡2+362𝑡+6
．
∵𝐵𝐷=2𝐴𝑂， ∴
𝑡2+362𝑡+6
=12，
∴𝑡2−24𝑡−36=0，
解得：𝑡1=12+6√5，𝑡2=12−6√5(舍去)， ∴点B的坐标为(12+6√5,0)；
(𝑖𝑖𝑖)当0≤𝑡<12时，∠𝐴𝐷𝐵是钝角，△𝐴𝐷𝐵是钝角三角形，故BD≠𝐴𝐵； 当𝑡≥12时，𝐵𝐷≤𝐶𝐸<𝐵𝐶<𝐴𝐵． ∴当𝑡≥0时，不存在𝐵𝐷=𝐴𝐵的情况．
综上所述：当△𝐴𝐵𝐷是等腰三角形时，点B坐标为(3,0)或(12+6√5,0)．
解析：本题考查了一次函数综合题，属于难题.涉及待定系数法求一次函数解析式、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及解直角三角形，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；(2)①利用全等三角形的性质，找出点C的
坐标；②分三条边两两相等，求出点B的坐标．
(1)当𝑡=4时点B的坐标为(4,0)，由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式； B的坐标可得出点M的坐标，过点C作𝐶𝐸⊥𝑥轴于点E，过点M作𝑀𝐹⊥𝑥轴于点F，(2)①由点A，
易证△𝐵𝐹𝑀≌△𝐶𝐸𝐵，利用全等三角形的性质可得出BE，CE的长，进而可得出点C的坐标； 详解：∵点M为线段AB的中点， ∴点M的坐标为(2,3)．
过点C作𝐶𝐸⊥𝑥轴于点E，过点M作𝑀𝐹⊥𝑥轴于点F，如图1所示．
𝑡
∵∠𝐹𝐵𝑀+∠𝐹𝑀𝐵=90°，∠𝐹𝐵𝑀+∠𝐸𝐵𝐶=90°， ∴∠𝐹𝑀𝐵=∠𝐸𝐵𝐶．
∠𝐵𝐹𝑀=∠𝐶𝐸𝐵=90°
在△𝐵𝐹𝑀和△𝐶𝐸𝐵中，{∠𝐹𝑀𝐵=∠𝐸𝐵𝐶，
𝐵𝑀=𝐶𝐵∴△𝐵𝐹𝑀≌△𝐶𝐸𝐵(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐸=𝑀𝐹=3，𝐶𝐸=𝐵𝐹=2， ∴𝑂𝐸=𝑂𝐵+𝐵𝐸=𝑡+3， ∴点C的坐标为(𝑡+3,2). 故答案为：(𝑡+3,2).
②分三种情况考虑：(𝑖)当𝐴𝐷=𝐵𝐷时，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐷，由平行线的性质可得出∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐷，进而可得出∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐵𝐴𝐷，由tan∠𝑂𝐴𝐵=tan∠𝐵𝐴𝐷可求出t值，进而可得出点B的坐标；(𝑖𝑖)当𝐴𝐵=𝐴𝐷时，𝐵𝐷=2𝐴𝑂，由点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，结合𝐵𝐷=2𝐴𝑂可得出关于t的一元二次方程，解之取其正值(𝑖𝑖𝑖)分0<𝑡<12及𝑡≥12两种情况，即可得出点B的坐标；可找出不存在𝐵𝐷=𝐴𝐵.综上，此题得解．
𝑡
𝑡
𝑡
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