西安交通大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析

一 判断下列命题是否正确（不用说明理由，每小题3分，共30分）

1． 设f(x)在点x0R1的邻域有定义．如果f(x)在x0处取得极大值，则存在

0，使得f(x)在(x0−,x0)内单调增，而在(x0,x0+)单调减．

2． 若实数列{xn}有上界，则limxn有限．

n→

3． 若级数an与bn都是发散的，且ancnbn(n=1,2,)，则级数cn也

n=1n=1n=1发散．

4．设{(an,bn)}是一个开区间序列，(an+1,bn+1)(an,bn),n=1,2,,且

lim(bn−an)=0．则不存在唯一的实数n→n=1(an,bn)．

5． 含参变量广义积分

y0[c,d],0+af(x,y)dx在区间[c,d]收敛的充要条件是：

'，存在A0a，使得A,AA0，有|A'Af(x,y)dx|．

6． 当x→+时，函数g(x,y)关于y[c,d]一致收敛于0的充要条件：0，存在A00，使得当xA0时，y[c,d]有|g(x,y)|．

7． 设I是区间．若f(x,y)在[a,b]I连续，则F(y)=f(x,y)dx在I连续．

ab

8． 若函数f(x)在(a,b)内可导，则f'(x)在(a,b)内没有第一类间断点．

9． 设f(x,y)在R2上有定义，yR1，(x)=f(x,y)是R1上的有界函数，

xR1，(y)=f(x,y)也是R1上的有界函数，则f(x,y)在R2上有界．

10． 若级数un收敛，则级数un3也收敛．

n=1n=1

二 填空（每小题6分，共60分）

11．lim(x−x2ln(1+))=_________

x→x

2． 设n是正整数，则|sinx|dx=_________

0n

3． 设u=xeyz+e−z+y，则du=_________

4． 若du=(x2+2xy−y2)dx+(x2−2xy−y2)dy，则u=_________

5． 设S为圆柱体，x2+y2a2,0zh的侧面（取外侧为正向），则向量

→a=yzi+zxj+xyk通过S的流量为_________

(1,2)→→→

6． 设积分沿不和y轴相交的途径，则 7． 函数

8． 设f(x,y)是R上的连续函数，二次积分dxf(x,y)dy+dx001(2,1)ydx−xdy=_________ 2xf(x)=x0sintdtt关于x的幂级数展开是_________

1x22−x20f(x,y)dy交换积分次序后，得到的二次积分是_________

9． 设u=x+y+z,A(1,−1,1),B(0,1,3)，则u在A点处沿AB方向的方向导数为

_________

222→

10． 设L为单位圆x2+y2=1，则线积分(x2+y3)ds=_________

L

三 （12分）设f(x,y)在D={(x,y)R2|x0,y0}上连续，当(x,y)→时，

f(x,y)的极限存在．证明：f(x,y)在D上是一致连续的．

四 （12分）讨论函数F(x)=

五 （12分）设un是正项级数，{an}是正数列，若lim(ann=1n→+0ln(1+t)dt在区间(1,2)内的连续性． xtun−an+1)0，证明：un+1级数un收敛．

n=1

六 （12分）设fn(x)=e−n|x|sinnx,n=1,2,敛性．

七 （12分）设R2上的函数f(x,y)在D={(x,y)|x2+y21}内连续，且

(u,v)D，存在0，使得f在((x,y)|(x−u)2+(y−v)22)内有界．证明：f在D={(x,y)|x2+y21}上是有界的．

__2,，讨论函数列fn(x)在R1上的一致收