总结"平面直角坐标系"和"三角形"的定理
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发布时间：2022-04-21 22:40
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时间：2023-04-28 22:53
明确概念 平面直角坐标系：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangular coordinate system）.水平的数轴称为x轴（x-axis）或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴（y-axis）或纵轴，取向上方向为 由数轴的表示引入，到两个数轴和有序数对。 从学生熟悉的物品入手，引申到平面直角坐标系。 描述平面直角坐标系特征和画法 正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 点的坐标：我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。表示方法为（a,b）.a是点对应横轴上的数值，b是点在纵轴上对应的数值。 例1 写出图中A、B、C、D点的坐标。 建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。 你能说出例1中各点在第几象限吗？ 例2 在平面直角坐标系中描出下列各点。 （）A（3，4）；B（-1，2）；C（-3，-2）；D（2，-2） 问题1：各象限点的坐标有什么特征？ 练习：教材49页：练习1，2。 三.深入探索 教材48页：探索： 识别坐标和点的位置关系，以及由坐标判断两点的关系以及两点所确定的直线的位置关系。 [巩固练习] 1． 教材49页习题6.1——第1题 2． 教材50页——第2，4，5，6。 [小结] 1． 平面直角坐标系； 2． 点的坐标及其表示 3． 各象限内点的坐标的特征 4． 坐标的简单应用 根据模式把书看一遍公式填进去就OK了 三角形"的定理重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍． 上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点． 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点． 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点． 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心． 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点． 三角形公式： S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半 勾股定理 [编辑本段] 在Rt三角形ABC中，〈A=90度，则 AB·AB+AC·AC=BC·BC A>90度，则 AB·AB+AC·AC>BC·BC 梅涅劳斯定理 [编辑本段] 梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 证明： 过点A作AG∥BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写 为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。 我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。 例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。 另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。 从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明： 方案① ——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。 按照这个方案，可以写出关系式： （AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。 从A点出发的旅游方案还有： 方案② ——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式： （AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是有： 方案③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式： （AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 从A出发还有最后一个方案： 方案④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式： （AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。 我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。 值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。 不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。 现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。 塞瓦定理 [编辑本段] 塞瓦定理 设O是△ABC内任意一点， AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明： ∵△ADC被直线BOE所截， ∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ① 而由△ABD被直线COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1② ②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
