如何在三角形(比如正三角形)里随机取点?
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热心网友
用线性代数的思路，三角形的一个顶点作为坐标原点，两条临边对应两个向量，分别叫它们为e1和e2，
因为是三角形所以 e1, e2 一定线性无关的，用它们作为基底构成一个二维线性空间，三角形在这个空间里刚好是单位正方形的下三角部分，在单位正方形内很容易产生平均分布的点，x, y 坐标分别为0..1 之间的随机数，不过会有一半的点落在三角形外面，外面这部分是一个一模一样的三角形，沿矩形中心转180°刚好重合，这里面的点也可以对应过去，方法是 (1,1) - (x, y)，见下图：
不用判断点是否在三角形内，norm((x,y)) 和norm( (1,1) - (x,y)) 哪个小就取哪个，一定是在三角形内的，然后得到如何下结果：
构造一个矩阵 M = (e1,e2)，M*(x,y) 把点转换回原来的空间就可以了：
你取三角形的其中两个边，然后取俩随机数，作为基于这两个边的坐标，它会在一个平行四边型上。如果在平行四边型的另外那半拉，就翻转回来。
关于”线密度“的问题，按某人的看法，我推论一下：
设矩形内有N个点，假设它们是按某人的算法抽取的，已经是“均匀分布”好了的。那么，它们必然在一条边上的线密度是N/a，概率密度是1/a；另一条边上的线密度是N/b，概率密度是1/b。完B了，线密度不均匀！！！肿末办？！！
实验一下，懒得写C++，直接Perl好了。
生成两组十万个随机数，一组来自于[0, 1000)的随机数除以1000，另一组来自于[0, 1000)的随机数反复排除直至小于1。然后分别排序、求相邻值的间距。
热心网友
既然是正三角形，就可以把大的正三角形分解成4个小的正三角形(把每个边的中点连起来)。然后再把每个小的正三角形分成四个更小的正三角形。如此循环分下去，直到分的够细。每个小的正三角形的中心即为样本。要随机的话，把所有样本乱序就好了。
然后，是那个匿名用户的“在圆上随机选择一条弦”，就是
说的「贝特朗悖论」吧？这压根不是个问题，这个悖论是说我们必须定义清楚「样本空间」，而在这里，样本空间有歧义么？
我就很搞不清楚，这个问题，如果给那些做过monte carlo的人，甚至都不必是专门的研究概率统计的人，都没有任何歧义，为啥有一些数学系的学生，查也不查一查，就出来到处跟人argue呢？
回到这个问题。其实很简单，rejection method就可以解决。但是如果简单粗暴的画矩形再rejection
热心网友
我们再来理论上推导一下：
假如我用坐标缩放的方法，获得了尺寸为a x b的矩形内的N个点。这N个点在短边上的线密度就是N/a，在长边上的密度就是N/b。
然后，把矩形补成方的，补的那块面积就是(b-a) x b。在上面用同样的方法成比例地搞K个点，让K与N和这俩的面积成比例，即K : N = (b-a) : a，这样就有K = N * (b-a) / a。然后，摞到一起，总的点数就是M = K+N = N*b/a。往长边上投射，线密度是M / b = N / a。
假如使用投射后截取的方法：我们首先在b x b尺寸的正方形上搞M个点，然后再截一块a x b的矩形出来，上面的点数N，就有M : N = b : a，完了。
这就好比：阿基米德定律说物体受的浮力等于排开水的重力，那么1kg水有没有可能浮起2kg物体？
重新模拟了一下2D的实际情景，两种方法的X坐标分别为缩放得到和剔除得到，都是得到2x5矩形内的100K个点；Y坐标使用相同的方法得到。然后，计算宽度为1的横、纵向条带内部的点的平均纵、横向距离，统计这些距离的均值与标准差。因为懒，依然使用Perl脚本：
