圆锥曲线中哪些问题可以设而求之
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发布时间：2022-04-26 23:12
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时间：2022-05-02 22:12
1，“点差法”，即差分法，适用于解决直线与圆锥曲线相交的弦的中点问题，回避了使用运算量较大的韦达定理，从而转化为与直线斜率有关的问题。它的本质是两平行方程的变形，如对椭圆：x1^2+y1^2=1...1,x2^2+y2^2=1...2,一式减二式，变形得：(y1-y2)/(x1-x2)=-b^2（x1+x2)/a^2（y1+y2),即斜率k=-b^2(x1+x2)/a^2(y1+y2）=-b^2x*/a^2y*,（设x*,y*为中点），同理变双曲线，抛物线，圆，但点差法只可用于解决中心在原点的圆锥曲线，（这便是点差法局限性之一了）再利用题中其他条件寻找x*,y*，k，m（直线截距）间的关系，允许保留一个未知数，多用于解决过定点问题。【注：对于存在性问题（如问到"是否存在一定点过于直线ab？”）要慎用点差法（此为局限之二），因为当题中未明说直线与圆锥曲线的相交情况时，若无交点，x1,x2,y1,y2就没有了意义，变形式也就不成立了。故即使利用点差法解出定点（当题中相交情况不确定时），也要检验。验法一：把已知直线与圆锥曲线联立，再算判别式是否≥0，若符合，则存在；验法二：把所得弦的中点代入圆锥曲线本身的约束条件中去看是否满足，如在椭圆中弦的中点应满足x^2/a^2+y^2/b^2<1；双曲线中满足x^2/a^2-y^2/b^2>1,若符合，则存在】
2。“交轨法”，即参数法，若等式中除了所研究的p点，还有其它变量，则把此变量做参数处理。步骤一：建系设点；二：列式，可化为x=f（t),y=g(t)之类,t为参数；三，消参；四，检验，注意x,y在t的约束下范围
（即由定义域t求值域x，y的问题）。如x=t+1/t(t>0),则有x≥2(由基本不等式可得）。参数法应用范围较广，凡是未知数较多，要消去时，必然要用到参数法，它一般是自然而然的，不像点差法带有一定的技巧性。若题中要专门考查参数法，多会在步骤三四设下障碍，步骤三消参可能消不掉，步骤四检验方程x或y范围易忽略（所得轨迹可能只是圆锥曲线的一部分）这就需要加强运算能力和思维的严谨性。此外，凡是能用点差法解决的问题也都能用“设而不求-韦达定理”解决，毕竟，它是贯穿圆锥曲线的主体思想。
参考资料：我的老师
